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人教版九年级数学 第27章 《相似》 单元同步检测试题
得 分
评卷人
完成时间：120分钟 满分：150分
姓名 成绩
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）
A. B. C. D.
2．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（ ）
A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小
3．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．－3 D．3或－3
4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C. ＝ D. ＝
7．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（ ）
A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（ ）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
第8题图 第9题图
9．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A B C D
得 分
评卷人
二、填空题（每题5分，共20分）
11．如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为 .
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
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12．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝ mm.
13．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为 cm．
14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为 ．
得 分
评卷人
三、解答题（共90分）
15．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．
（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）求∠BAC的度数．
16．（10分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
17．（10分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上
一点，若∠APD=60°，求CD的长．
18．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.
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19．（12分）如图，已知CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP.
求证：CE2＝ED·EP.
20．（12分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
21．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于
点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当
t为何值时，DP⊥AC?
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，G是DC
延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F.求证：CD2＝DF·DG.
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人教版九年级数学 第27章 《相似》 单元同步检测试题
参 考 答 案
得 分
评卷人
完成时间：120分钟 满分：150分
姓名 成绩
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
B
C
D
D
B
D
D
1．观察下列每组图形，相似图形是（ D ）
A. B. C. D.
2．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（ C ）
A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小
3．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为（ B ）
A．2 B．3 C．－3 D．3或－3
4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ B ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为（ C ）
A．6 B．8 C．10 D．12
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ D ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C. ＝ D. ＝
7．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（ D ）
A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（ B ）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
第8题图 第9题图
9．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ D ）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ D ）
A B C D
得 分
评卷人
二、填空题（每题5分，共20分）
11．如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为 1 .
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第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝ 2.5 mm.
13．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为 18 cm．
14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为 113°或92° ．
得 分
评卷人
三、解答题（共90分）
15．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．
（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）求∠BAC的度数．
解：（1）△PBA与△ABC相似，
理由如下：
∵AB==，BC=5，BP=1，
∴，
∵∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC；
（2）∵△PBA∽△ABC
∴∠BAC=∠BPA，
∵∠BPA=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°．
16．（10分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
17．（10分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上
一点，若∠APD=60°，求CD的长．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，
∵∠APD=60°，
∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，
∴∠APB=∠PDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABP∽△PCD，
∴，即，
∴CD=．
18．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠F＋∠FEC＝90°.
∵DF⊥AB，
∴∠A＋∠AED＝90°.
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∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F.
∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CD＝DA.
∴∠A＝∠ACD.∴∠ACD＝∠F.
又∵∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC.
∴＝.∴CD2＝DE·DF.
19．（12分）如图，已知CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP.
求证：CE2＝ED·EP.
证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE.
∴＝，
即CE2＝AE·BE.
∵CE⊥AB，BG⊥AP,
∴∠EBD＋∠EDB＝∠P＋∠GDP＝90°.
∴∠EBD＝∠P.
∴△AEP∽△DEB.
∴＝，
即AE·EB＝ED·EP.
∴CE2＝ED·EP.
20．（12分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
∴或，
解得：BP=2或12或，
即BP=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．
21．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP
交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当
t为何值时，DP⊥AC?
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠APQ＝∠CDQ.
又∵∠AQP＝∠CQD，
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t＝5时，DP⊥AC.
理由：∵t＝5，∴AP＝5.
∴＝.
又∵＝，
∴＝.
又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，
∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP＝∠DCA.
∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，
∴∠DCA＋∠CDP＝90°.
∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，G是DC
延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F.求证：CD2＝DF·DG.
证明：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠CBD＝90°.
∴∠ACD＝∠CBD.
∴△ACD∽△CBD.
∴＝，即CD2＝AD·BD.
∵BE⊥AG，∴∠G＋∠CFE＝90°.
∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠G＝∠DBF.
∴△BDF∽△GDA.
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∴＝，即AD·BD＝DF·DG.
∴CD2＝DF·DG.
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