2015版高中数学 1.3 等比数列（第3课时）练习 北师大版必修5.doc

‎1.3等比数列第3课时训练题（带解析北师大版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．在等比数列{an}(n∈N＋)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为(　　)‎ A．2－　　　　　　　　 B．2－ C．2－　 D．2－ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a1＝1，a4＝，∴q3＝＝，∴q＝.‎ ‎∴S10＝＝2[1－10]＝2－，故选B．‎ ‎2．等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)‎ A．2　 B．4‎ C．　 D． ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意得＝＝.故选C．‎ ‎3．等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为(　　)‎ A．－2　 B．1‎ C．－2或1　 D．2或－1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意可得，a1＋a1q＋a1q2＝‎3a1，‎ ‎∴q2＋q－2＝0，∴q＝1或q＝－2.‎ ‎4．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　)‎ A．31　 B．33‎ C．35　 D．37‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　解法一：S5＝＝＝1‎ ‎∴a1＝ ‎∴S10＝＝＝33，故选B．‎ - 5 -‎ 解法二：∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1‎ ‎∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)·q5＝1×25＝32‎ ‎∴S10＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1＋32＝33.‎ ‎5．已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)‎ A．514　 B．513‎ C．512　 D．510‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由已知得，‎ 解得q＝2或.‎ ‎∵q为整数，∴q＝2.∴a1＝2.∴S8＝＝29－2＝510.‎ ‎6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3，S6＝27，则此等比数列的公比q等于(　　)‎ A．2　 B．－2‎ C．　 D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　 得＝9，解得q3＝8.‎ ‎∴q＝2，故选A．‎ 二、填空题 ‎7．(2013·北京理)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________.‎ ‎[答案]　2，Sn＝2n＋1－2‎ ‎[解析]　本题考查等比数列的通项公式求和公式及性质的应用问题．‎ a3＋a5＝q(a2＋a4)代入有q＝2，再根据a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20有a1＝2，所以an＝2n，利用求和公式可以得到Sn＝2n＋1－2.‎ ‎8．在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝则q＝________.(用数字作答)‎ ‎[答案]　1或 ‎[解析]　若q≠1，则 解得q＝1或q＝－，‎ ‎∵q≠1，∴q＝－，‎ 若q＝1，则也合题意，‎ ‎∴q＝1.‎ 综上q的值为1或－.‎ 三、解答题 ‎9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且‎2a2为‎3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项，公比及前n项和．‎ - 5 -‎ ‎[解析]　设该数列的公比为q，由已知可得 a1q－a1＝2得a1(q－1)＝2.‎ ‎4a‎1q＝‎3a1＋a1q2得q2－4q＋3＝0解得q＝3或q＝1.‎ 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．‎ 故公比q＝3，首项a1＝1.‎ 所以数列的前n项和Sn＝.‎ ‎10．(2014·福建文，17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得 因此，an＝3n－1.‎ ‎(2)因为bn＝log3an＝n－1，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.‎ 一、选择题 ‎1．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a‎2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)‎ A．　 B． C．　 D． ‎[答案]　B ‎[解析]　设公比为q，则q>0，且a＝1，‎ 即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，‎ 即6q2－q－1＝0，‎ ‎∴q＝或q＝－(舍去)，‎ ‎∴a1＝＝4.‎ ‎∴S5＝＝8＝.‎ ‎2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝(　　)‎ A．16(1－4－n)　 B．16(1－2－n)‎ C．(1－4－n)　 D．(1－2－n)‎ ‎[答案]　C - 5 -‎ ‎[解析]　∵＝q3＝，∴q＝.‎ ‎∴an·an＋1＝4·()n－1·4·()n ‎＝25－2n，‎ 故a‎1a2＋a‎2a3＋a‎3a4＋…＋anan＋1‎ ‎＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ‎＝ ‎＝(1－4－n)．‎ ‎3．等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．1　 B．－ C．1或－　 D．－1或 ‎[答案]　C ‎[解析]　当q＝1时，满足题意．当q≠1时，由题意得，解得q＝－，故选C．‎ ‎4．(2014·全国大纲卷理，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(　　)‎ A．6　 B．5‎ C．4　 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是an＝2×()n－4，设bn＝lgan＝lg2＋(n－4)lg，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S8＝ ‎＝＝4.在等比数列中任意两项的关系时an＝amqn－m，一个各项为正的等差数列，取对数后所得到的数列是等差数列．‎ 二、填空题 ‎5．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.‎ ‎[答案]　2,2n－1－ ‎[解析]　本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得．‎ ＝q3＝＝8，所以q＝2，所以 a1＋a2＋……＋an＝＝2n－1－.‎ - 5 -‎ ‎6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　本题考查等比数列通项公式，前n项和公式等．记第一天植树a1＝2，则第n天为an＝2n，这n天总共植树Sn＝＝2(2n－1)，令Sn≥100得n≥6，所以最少要6天．本题为填空题，利用列举法更简单．‎ 三、解答题 ‎7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,‎6a1＋a3＝30，求an和Sn.‎ ‎[分析]　设出公比根据条件列出关于a1与q的方程．求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式．‎ ‎[解析]　设{an}的公比为q，由已知有：‎ .解得或 ‎(1)当a1＝3，q＝2时，an＝a1·qn－1＝3×2n－1‎ Sn＝＝＝3×(2n－1)‎ ‎(2)当a1＝2，q＝3时，an＝a1·qn－1＝2×3n－1‎ Sn＝＝＝3n－1.‎ 综上，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)或an＝2×3n－1，‎ Sn＝3n－1.‎ ‎8．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn