2015版高中数学 1.3 等比数列 第4课时练习 北师大版必修5.doc

‎1.3等比数列第4课时训练题（附解析北师大版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)‎ A．－6(1－3－10)　 B．(1－310)‎ C．3(1－3－10)　 D．3(1＋3－10)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查等比数列的定义，前n项和的求法．‎ ‎3an＋1＋an＝0‎ ‎∴＝－＝q a2＝a1·q＝－a1＝－，∴a1＝4‎ ‎∴S10＝＝3(1－3－10)．‎ ‎2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)‎ A．3　　　　　 B．4‎ C．5　　　　　 D．6‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，‎ ‎∴3S3－3S2＝a4－a3，‎ ‎∴‎3a3＝a4－a3，‎ ‎∴‎4a3＝a4，‎ ‎∴＝4，∴q＝4.‎ ‎3．若等比数列{an}满足anan＋1＝64n，则公比为(　　)‎ A．2　　　　　 B．4‎ C．8　　　　　 D．16‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力．‎ ‎∵an·an＋1＝64n，∴an－1·an＝64n－1‎ ‎∴＝＝q2＝＝64‎ ‎∴q＝8.‎ ‎4．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是(　　)‎ A．1061　 B．1023‎ C．1024　 D．268‎ - 5 -‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意得a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，‎ ‎∴＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝1023.‎ ‎5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a‎1a2a3a4a5，则m＝(　　)‎ A．9　 B．10‎ C．11　 D．12‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a1＝1，∴am＝a‎1a2a3a4a5＝aq10＝q10，‎ 又∵am＝a1qm－1＝qm－1，‎ ‎∴qm－1＝q10，∴m－1＝10，∴m＝11.‎ ‎6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)‎ A．7　 B．9‎ C．63　 D．7或63‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，‎ ‎∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，‎ 即(21－S10)2＝S10(49－21)，‎ ‎∴S10＝7或63.‎ 二、填空题 ‎7．已知数列{an}中，an＝，则a9＝______________.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝______________.‎ ‎[答案]　256　377‎ ‎[解析]　a9＝28＝256，‎ S9＝20＋22＋24＋26＋28＋3＋7＋11＋15＝377.‎ ‎8．在等比数列{an}中，已知对于任意n∈N＋，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.‎ ‎[答案]　×4n－ ‎[解析]　∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1(n≥2)，‎ 两式相减，得an＝2n－1－2n－1＋1＝2n－2n－1＝2n－1，‎ ‎∴a＝(2n－1)2＝22n－2＝4n－1，‎ ‎∴a＋a＋…＋a＝＝×4n－.‎ 三、解答题 ‎9．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和．‎ ‎[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 - 5 -‎ d＝＝＝3.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．‎ 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 q3＝＝＝8，解得q＝2.‎ 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，‎ 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．‎ ‎(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．‎ 数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.‎ 所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.‎ ‎10．求和Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n.‎ ‎[解析]　∵Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n－1＋(3n－2)×2n①‎ ‎2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1②‎ ‎∴①－②得，－Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1＝3(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)×2n＋1－4＝3(2n＋1－2)－(3n－2)×2n＋1－4＝3×2n＋1－6－3n×2n＋1＋2n＋2－4＝2n＋2＋3(1－n)×2n＋1－10.∴Sn＝3(n－1)×2n＋1－2n＋2＋10‎ ‎＝(3n－5)×2n＋1＋10.‎ 一、选择题 ‎1．已知等比数列{an}中，公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)‎ A．100　 B．90‎ C．120　 D．30‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a2＋a4＋a6＋…＋a100＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋a99q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝×60＝30‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝60＋30＝90.‎ ‎2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)‎ A．3×44　 B．3×44＋1‎ C．45　 D．45＋1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　该题考查已知一个数列的前n项和Sn与an＋1的关系，求通项公式an.注意的问题是用an＝Sn－Sn－1时(n≥2)的条件．‎ an＋1＝3Sn　①‎ an＝3Sn－1　②‎ ‎①－②得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an 即an＋1＝4an - 5 -‎ ‎∴＝4.(n≥2)当n＝2时，a2＝‎3a1＝3，‎ ‎∴＝3≠＝4‎ ‎∴an为从第2项起的等比数列，且公比q＝4，∴a6＝a2·q4＝3·44.‎ ‎3．设{an}是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是(　　)‎ A．X＋Z＝2Y　 B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)‎ C．Y2＝XZ　 D．Y(Y－X)＝X(Z－X)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.‎ 又∵{an}是等比数列，‎ ‎∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，整理得Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选D．‎ ‎4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)‎ A．2　 B． C．　 D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝3，∴S6＝3S3，∴＝2，‎ ‎∵S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴＝22，‎ ‎∴S9＝4S3＋S6＝7S3，‎ ‎∴＝＝，∴选B．‎ 二、填空题 ‎5．等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋1＋m，则a1＝________.‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　∵a1＝S1＝9＋m，‎ a2＝S2－S1＝27＋m－9－m＝18，‎ a3＝S3－S2＝81＋m－27－m＝54，‎ 又∵{an}为等比数列，‎ ‎∴a＝a‎1a3，∴182＝54(9＋m)，‎ 解得m＝－3.‎ ‎∴a1＝9＋m＝6.‎ ‎6．(2014·天津理，11)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　本题考查等差数列等比数列综合应用，由条件：‎ S1＝a1，‎ - 5 -‎ S2＝a1＋a2＝a1＋a1＋d＝‎2a1－1‎ S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝‎4a1＋6d＝‎4a1－6‎ ‎∴(‎2a1－1)2＝a1·(‎4a1－6)‎ ‎4a＋1－‎4a1＝‎4a－‎6a1‎ ‎∴a1＝－.‎ 三、解答题 ‎7．已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和为Sn.若点(n，Sn)在函数y＝－x2＋4x的图像上，点(n，bn)在函数y＝2x的图像上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析]　(1)由已知得Sn＝－n2＋4n，‎ ‎∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，‎ 又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．‎ ‎∴an＝－2n＋5.‎ ‎(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)·2n.‎ Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，‎ ‎2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1.‎ 两式相减可得 Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)2n＋1‎ ‎＝＋(－2n＋5)2n＋1－6‎ ‎＝(7－2n)·2n＋1－14.‎ ‎8．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)由已知，当n≥1时，‎ an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1‎ ‎＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2‎ ‎＝22n＋1＝22(n＋1)－1.‎ 而a1＝2，符合上式，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.‎ ‎(2)由bn＝nan＝n·22n－1，知 Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1，①‎ ‎22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋(n－1)22n－1＋‎ n·22n＋1.②‎ ‎①－②，得 ‎(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，‎ 即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．‎ - 5 -‎