1.4数列在日常经济生活中的应用测试题（有解析北师大版必修五）
一、选择题
1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
[答案] C
[解析] 设第n个月份的需求量超过1.5万件．则Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，
化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C．
2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近( )
A．860个 B．1730个
C．3072个 D．3900个
[答案] C
[解析] 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，＝10，可得，a11＝3·210＝3072，故选C．
3．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )
A．14m B．15m
C．16m D．17m
[答案] B
[解析] 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m，故选B．
4．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．( )
A．8×1.0253 B．8×1.0254
C．8×1.0255 D．8×1.0256
[答案] C
[解析] 定期自动转存属于复利计算问题，5年末的本利和为8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255.
5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年至期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为( )
A．a(1＋r)7
B．[(1＋r)7－(1＋r)]
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C．a(1＋r)8
D．[(1＋r)8－(1＋r)]
[答案] B
[解析] 2014年1月1日，2013年1月1日，…2009年1月1日存入钱的本息分别为a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加即可．
6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )
A．4－1 B．2
C．4－1 D．2－1
[答案] A
[解析] 设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝4－1.
二、填空题
7．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2014年的垃圾量为________吨．
[答案] a(1＋b) a(1＋b)5
[解析] 2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2014年是从2009年起再过5年，所以2014年的垃圾量是a(1＋b)5吨．
8．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．
[答案] －1
[解析] 设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，
∴1＋x＝，x＝－1.
三、解答题
9．已知某地教育储蓄的月利率为0.21%，某人欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，他每月应存入多少元？
[解析] 设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得×0.21%＋36x＝10 000，
解得x≈267.39元，即每月应存入267.39元．
10．某城市2002年底人口为500万，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，到2012年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了还是减少了？说明了什么问题？(精确到0.01平方米)
[解析] 设2002年，2003年，…，2012年住房面积总数成等差数列{an}，人口数组成等比数列{bn}，
则2002年：a1＝500×6＝3000(万平方米)，b1＝500(万)．
2003年：a2＝a1＋d＝3000＋30＝3030(万平方米)，b2＝b1×q＝500×(1＋1%)＝505(万)．
…
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2012年：a11＝a1＋10d＝3000＋10×30＝3300(万平方米)，b11＝b1×q10＝500×(1＋1%)10＝500×1.0110≈552(万)．
所以人均住房面积是≈5.98(平方米)．
答：该城市人均住房面积约5.98平方米，人均住房面积反而减少了，说明计划生育的重要性.
1.某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值等于( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 由已知条件和分期付款公式可得，
a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，∴a＝.
2．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )
A．1.14a B．1.15a
C．11×(1.15－1)a D．10(1.16－1)a
[答案] C
[解析] S＝a(1＋10%)＋a(1＋10%)2＋…＋a(1＋10%)5＝11×(1.15－1)A．
二、填空题
3．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在________层．
[答案] 14
[解析] 设停在第x层，则S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]＝＋421，
∴x＝时取最小值，而x∈{2,3，…，20}，
∴x＝14时取最小值．
4．某工厂生产总值的月平均增比率为p，则年平均增长率为________．
[答案] (1＋p)12－1
[解析] 设年平均增长率为x，原来总产值为a，由题意得a(1＋x)＝a(1＋p)12，
∴x＝(1＋p)12－1.
三、解答题
5．某工厂2012年生产某种机器零件100万件，计划到2014年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2013年生产这种零件多少万件？
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[解析] 设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2012年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2，成等比数列．
由100(1＋x)2＝121得(1＋x)2＝1.21，
∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1，
∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)，
a2＝100(1＋x)＝110(万件)，
所以每年增长的百分率为10%,2013年生产这种零件110万件．
6．某林场2014年底森林木材储存量为330万立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从2015年起，每年冬天要砍伐的木材量为x万立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少？(lg 2≈0.3)
[解析] 设从2014年起的每年年底木材储存量组成的数列为{an}，则
，
则an＋1－4x＝(an－4x)，
即＝.
∴{an－4x}是以330－4x为首项，公比为的等比数列，即an＝(330－4x)()n－1＋4x.
∴a21＝(330－4x)()20＋4x.
令a21≥4a1，即(330－4x)()20＋4x≥4×330.
由lg 2≈0.3，可求得()20＝100，代入上式整理得396x≤31 680，
解得x≤80(万立方米)．
答：每年砍伐量最大为80万立方米．
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