知识点016 反比例函数图象、性质及其应用2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （2016甘肃兰州，2，4分）反比例函数y=的图像在（ ）‎ A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限 ‎【答案】B ‎【逐步提示】先确定反比例函数中k的值，再确定它的正负情况，从而确定它的图像所在的象限.‎ ‎【详细解答】解：因为k=2>0，反比例函数y=的图像在第一、第三象限，故选择B . 【解后反思】反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．‎ ‎【关键词】反比例函数；反比例函数的图像与性质 ‎2. （2016甘肃兰州，15，4分）如图，A、B两点在反比例函数y=的图像上，C、D两点在反比例函数y=的图像上，AC ⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF=，则k2－k1=（ ）‎ ‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】第一步，连接AO、CO、DO、BO，构造面积为与的三角形；第二步，根据面积关系△AOC、△AOE、△EOC的面积关系用k1、k2的代数式表示OE；第三步，根据面积关系△DOB、△DOF、△BOF的面积关系用k1、k2的代数式表示OF；第四步，根据OE＋OF=EF建立关于“k2－k‎1”‎的方程，从而求得“k2－k‎1”‎的值. 【详细解答】解：连接AO、CO、DO、BO、AF、CF、DE、BE.‎ ‎∵S△AOC= S△AOE＋S△EOC，‎ ‎∴，‎ ‎∵由反比例函数图像所在象限的位置可知，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 k10，又AC=2，BD=3，∴=×2×OE，∴OE=，‎ ‎∵S△BOD= S△DOF＋S△BOF，‎ ‎∴，又AC=2，BD=3，‎ ‎∴=×3×OF，∴OF=，‎ ‎∵OE＋OF=EF=，∴＋=,解得，故选择A. 【解后反思】反比例函数的几何意义包括：‎ ‎（1）如下图，过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=·=.∵y=，∴xy=k，∴S=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为．‎ ‎（2）如上图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则=，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为．‎ ‎【关键词】 反比例函数图像与性质；三角形面积；转化思想；建模思想 ‎3. （ 2016甘肃省天水市，6，4分）反比例函数y＝－的图象上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）‎ A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y‎2 ‎ C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题涉及反比例函数，给出了解析式，考查反比例函数值的大小比较，解题的关键是画出函数图像，采用数形结合的思想，直接观察获解．‎ ‎【详细解答】解：如图所示，画出图像分析问题．‎ x y O x1‎ x2‎ y1‎ y2‎ 观察图象，发现若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，故选择D．‎ ‎【解后反思】本题是选择题型，求解时也可以采用特殊值法，可以令x1＝－1，x2＝1，然后将它们分别代入y＝－‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 求得y1＝1，y2＝－1，进而由1＞0＞－1得到y1＞0＞y2．所谓特殊值法，就是根据条件或答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断．‎ ‎【关键词】反比例函数的图像；反比例函数的性质；数形结合思想；作图法；特殊值法．‎ ‎4. （2016广东省广州市，6，3分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）‎ A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】先根据行程公式求出甲地到乙地的总路程，然后再根据行程公式直接得到汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系．‎ ‎【详细解答】解：甲地到乙地的路程为80×4=320(千米)，当他按原路匀速返回时，有vt=320，则v与t的函数关系为v=，故选择B． ‎ ‎【解后反思】确定反比例函数的解析式常用的方法是待定系数法，一般由一组对应值或图象上一个点的坐标即可确定．涉及实际意义的，可由实际问题蕴含的数量关系直接进行确定，常常涉及路程公式，几何图形的面积公式，以及物理学中的一些公式等．‎ ‎【关键词】确定反比例函数的解析式；行程问题 ‎5. （2016贵州省毕节市，10，3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB轴于点B，链接OA，则△ABO的面积为（ 　 ）‎ A．－4 B．‎4 C．－2 D．2‎ y x O A B ‎（第10题图）‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形的面积公式．解题的关键是熟悉△ABO的面积等于|k|的一半，并会通过计算得到这个结论． 【详细解答】解：设点A的坐标为（m，n），因为点A在的图象上，所以，有mn＝－4，△ABO的面积为＝2，故选择D. 【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为△ABO的面积等于|k|． 【关键词】反比例函数的意义；反比例函数的图象；‎ ‎6.（ 2016河南省，5，3分）如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则的值为【 】‎ ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查了反比例函数ｋ值的几何意义，解题的关键是熟练掌握图象上一点向坐标轴做垂线构造直角三角形的面积与ｋ值的关系．思路：首先利用点Ａ的坐标表示△ＡＯＢ的面积，在利用反比例函数解析式建立ｋ与点Ａ坐标之间的关系，从而确定ｋ值与△ＡＯＢ的面积的数量关系，利用三角形的面积和图象所在象限求出ｋ值．‎ ‎【详细解答】解：设点Ａ的坐标为（ｘ，ｙ），点Ａ在第一象限则 ＯＢ＝ｘ ，ＡＢ＝ｙ，‎ ‎∴Ｓ△ＡＯＢ＝ＯＢ．ＡＢ=xy=2.∴xy=4‎ ‎. ∵点A在反比例函数y=图象上，‎ ‎∴k=xy=4 ，故选择C .‎ ‎【解后反思】本题重点是反比例函数k值的几何意义，难点是借助图象上点的坐标搭建.此图象上一点向坐标轴做垂线构造直角三角形的面积与ｋ值之间的联系．一般方法是（1）利用图象上点的坐标表示图象上一点向坐标轴做垂线构造直角三角形的面积 （2借助解析式用图象上的点的坐标表示k值（3）确立k值与三角形面积之间的数量关系.‎ ‎【关键词】直角三角形的面积；反比例函数；k值的几何意义；数形结合和化归思想 ‎7. （ 2016湖北省荆州市，10，3分）如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B′．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B′的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为（ ）‎ A．3 B．‎4 ‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎【考点解剖】‎ ‎【逐步提示】本题考查利用图形旋转的特征，在坐标系求解几何图形中点的坐标和反比例函数的图象；（1）先由S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，求得A、B两点坐标，再根据将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B′，求得A′、B′坐标；（2）由中点公式得C（2，3），代入即可．‎ ‎【详细解答】解：因为S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，所以OA＝2，OB=4，所以A（-2，0），B(0，4)，又因为将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B′，得A′（4，2），B′‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（0，4），由中点公式得C（2，3），把C（2，3）代入得k=6，故选择C．‎ ‎【解后反思】解答反比例函数的问题，往往结合中点及三角形或梯形的面积一起出现，此类问题中，由于题中没有点的坐标，通常可通过间接设未知数的方向，表示出题目中所求的线段，利用图形旋转的特征和数形结合思想在坐标系中求图形中关键点的坐标，从而求得所求图形的面积．‎ ‎【关键词】图形旋转的特征；锐角三角函数值；反比函数的图像与性质；数形结合思想 ‎8. （ 2016湖北省十堰市，10，3分）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xoy中，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y=（k＞0，x＞0）上，则k的值为（ ）‎ A.25 B‎.18‎ C.9 D.9 ‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题主要考查了等边三角形的性质、坐标的意义、解直角三角形、解方程组、反比例函数等，解答此题的关键是作出辅助线，利用线段表示点C、点D的坐标.解题的思路：要求反比例函数中的系数，需要知道点C或点D的坐标，本题不易直接求出点C坐标或点D的坐标，但是点C坐标或点D的坐标之间又存在一定的关系，而这个关系是通过等边三角形来联系的，所以我们利用30度角的直角三角形的边角关系，用t的代数式表示AE、CE、AC, BC、BD、OD、OF、DF，再代入到反比例函数关系式中，进行取舍，求出t值，进一步，求出k值。 【详细解答】解：如图，过点C作CE⊥OA与点E,过点D作DF⊥OA于点F，容易知道： 三角形CEA、CDB、DFO都是含30度角直角三角形，设OE=t,则AE=10-t,CE=(10-t), AC=2(10-t) ; C 〔t,(10-t)〕 依次可以得到D〔，〕，把点C和点D的坐标代入到y=中，解得t=9，t=18（不合题意，舍去）.故选择 C.‎ F E ‎ 【解后反思】求反比例函数中的比例系数是反比例函数中的重点，因为有了反比例函数中的比例系数，就知道了解析式、性质、图形等都容易解决；但是，把反比例函数图形上两点坐标的关系，隐含与等边三角形中，却是一个难点，考生一般觉得束手无策，这也是选择题中的一个压轴题，学生不容易得分。‎ ‎ 本题突出的数学思想是数形结合思想 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎：数形结合思想是指把问题中的数量关系与几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决.‎ ‎【关键词】反比例函数；反比函数的图像；等边三角形；解直角三角形 ‎9.（2016湖北宜昌，15，3分）函数的图象可能是（ ）‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题主要考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质及函数平移规律是解题的关键 【详细解答】解：由函数 可知函数图象分布在第二、四象限，再将函数图象向左平移一个单位，即选项C的图象，故答案为C . 【解后反思】反比例函数y＝当 k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限。. 【关键词】反比例函数的图象与性质;平移规律 ‎10. （2016湖南省衡阳市，12，3分）如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，BC∥轴，交轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥轴，垂足为M，设∆OMP的面积为S，P点运动时间为，则S关于的函数图象大致为（ ）‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】本题考查了反比例函数的性质、三角形面积计算、相似三角形的性质等知识，解题的关键是建立∆OMP的面积y关于t的函数关系式．可用排除法求解，或者分别求出四边形的面积y关于t的函数关系式，从而做出正确的选择． 【详细解答】解法1：如图，点P在曲线AB上时∆OMP的面积y＝k为定值，则可排除选择支B、C；点P 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在线段BC上时∆OMP的面积y＝OC×CP，其中OC定值，面积y是关于PN长的一次函数式，则可排除选择支D；故选A. ‎ 解法2：如图，点P在OA段上，△OPM∽△OAD，△OPM的面积y是线段OM长的二次式，故图象为抛物线的一部分；点P在曲线AB上时∆OMP的面积y＝k为定值，不变；点P在线段BC上时∆OMP的面积y＝OC×CP，其中OC定值，面积y是关于PN长的一次函数式，故选A. ‎ ‎ 【解后反思】判断函数大致图像的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图像及性质做出合理的判断． 【关键词】反比例函数 ；反比例函数图象；三角形面积计算；相似三角形的性质 ‎11.‎ ‎12.‎ ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎18.‎ ‎19.‎ ‎20.‎ ‎21.‎ ‎22.‎ ‎23.‎ ‎24.‎ ‎25.‎ ‎26.‎ ‎27.‎ ‎28.‎ ‎29.‎ ‎30.‎ ‎31.‎ ‎32.‎ ‎33.‎ ‎34.‎ ‎35.‎ ‎36.‎ ‎37.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎38.‎ ‎39. ‎ 二、填空题 ‎1. （2016甘肃兰州，18，4分）双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大为增大，则m的取值范围是 ．‎ ‎【答案】m