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中考复习之专题九 图形的变换与四边形
教学准备
一. 教学目标：
1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。
二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用
三. 知识要点：
知识点1：图形的变换与镶嵌
知识点2：四边形的定义、判定及性质
知识点3：矩形、菱形及正方形的判定
知识点4：矩形、菱形及正方形的性质
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知识点5：梯形的判定及性质
例题精讲
例1. 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
【评析】本题所考查的是对称轴的概念．应对给出的图形认真分析．从题目中所给的四个图形来看，图A有2条对称轴；图B有4条对称轴；图C不是轴对称图形，它没有对称轴；图D只有一条对称轴，所以图B的对称轴条数最多．
例2. 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果．
【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°后的位置，然后连线，涂上相应的阴影即可．
【解析】所画的图形如图所示．
例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
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（1）请根据图，填写下表中的空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个
内角的度数
60°
90°
108°
120°
（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
【解析】（1）．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，
则m、n应是方程m·90°＋n·135°＝360°的正整数解．即2m＋3n＝8的正整数解，这个方程的正整数解只有一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，所以符合条件的图形有2种．
例4. 如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF＝S平行四边形ABCD.
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．
∵E是DC的中点，∴DE＝CE．
∴△AED≌△FEC．
∴S△AED ＝S△FEC．
∴S△ABF ＝S四边形ABCE＋S△CEF ＝S四边形ABCE＋S△AED ＝S平行四边形ABCD
例5. 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A. OE＝OF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠ABE＝∠CDF
【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当的方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．
例6. 如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC＋BD＝_______．
【分析】
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本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO＋BO＝9，再求得AC＋BD＝18．
例7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE．求证：四边形ACEF为菱形．
【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．
例8. 如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD.
∴AE＝CF．
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE．
∵AE＝BE，
∴AE＝BE＝DE．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°，
∴四边形AGBD是矩形．
例9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE＝30°．
（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．
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【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．
例10. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．
【解析】△ADE是等边三角形．
理由如下：∵AB＝CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，
∵∠B＝∠C.
∴E为BC的中点，
∵BE＝CE．
在△ABE和△DCE中，
∵∴△ABE≌△DCE．
∵AE＝DE． ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形．
∴AB＝DE
∵AB＝AD， ∴AD＝AE＝DE．
∴△ADE为等边三角形．
课后练习
一、选择题
1. 将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（ ）
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
3. 下图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 3：1 D. 1：3
4. 张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
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5. 如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A. 10cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm
6. 如图，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，若用剪刀沿AD剪开，则最多能拼出不同形状的四边形的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1－ D. 1－
8. 将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（ ）
A. 大于90° B. 等于90° C. 小于90° D. 不能确定
9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝6，沿AE翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连结B′E交CD于F，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，下面四个结论：
①△AOB∽△COD； ②△AOD∽△BOC； ③；④S△AOD＝S△BOC，其中结论始终正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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二、填空题
1. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_____________（添加一个条件即可）．
2. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．
3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．
4. 如图，先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB＝4，BC＝3，则图①和图②中，点B的坐标为
________，点C的坐标为______．
5. 如图，在梯形ABCD中，∠DCB＝90°，AB∥CD，AB＝25，BC＝24. 将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_______．
三、解答题
1. 在下图的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C＝90°．
（1）请你画出将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后所得到的Rt△A′B′C. 其中A、B的对应点分别是A′，B′（不必写画法）；
（2）设（1）中AB的延长线与A′B′相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）．
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2. 在AB＝30m，AD＝20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．
3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC＝120°．
求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB＝4，求梯形ABCD的面积．
4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，DE∥AB.
求证：（1）DE＝DC；（2）△DEC是等边三角形．
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3. D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD＝x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
练习答案
一、选择题
1. D 2. A 3. A 4. C 5. D 6. D 7. C 8. B 9. A 10. B
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二、填空题
1. 答案不唯一，如AB＝CD等
2. 16＋16
3. ①②⑤
4. B（4，0），（2，2），C（4，3），（）
5. 30.
三、解答题
1. 解：（1）方格纸中Rt△A′B′C为所画的三角形
（2）由（1）得∠A＝∠A′，
又∵∠1＝∠2，∴△ABC∽△A′BD，
∴，
∵BC＝1，A′B＝2，
AB＝，
即BD＝≈0.6，∴BD的长约为0.6
2. 解：①当x≠0时，
故矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似
②当时，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似
所以，解得＝
3. 证明：（1）由∠ADC＝120°，可得∠C＝∠ABC＝60°，
从而得到∠ADB＝30°，∴BD⊥DC.
（2）12
4. 证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE＝AB，
∵AB＝DC，
∴DE＝DC
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（2）∵AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°．
又∵DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形．
5. 解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC. 又∵DE⊥BC，∴EF∥AC．
又∵AE∥CF，∴四边形EACF是平行四边形．
当CF＝AC时，四边形ACFE是菱形．
此时，CF＝AC＝2，BD＝3－x，tan∠B＝，ED＝BD·tan∠B＝（3－x），
∴DF＝EF－ED＝2－（3－x）＝x．
在Rt△CDF中，CD2＋DF2＝CF2，
∴x2＋（x）2＝22，∴x＝±（负值不合题意，舍去），
即当x＝时，四边形ACFE是菱形
（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD＝×（4－x）·x＝－x2＋2x．
依题意，得－x2＋2x＝2，整理得，x2－6x＋6＝0. 解之，得x1＝3－，x2＝3＋．
∵x＝3＋>BC＝3，
∴x＝3＋舍去，
∴当x＝3－时，梯形EACD的面积等于2．
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