2015版高中数学 2.2 三角形中的几何计算练习 北师大版必修5.doc

‎2.2三角形中的几何计算测试题（含解析北师大版必修五）　 ‎ 一、选择题 ‎1．在△ABC中，A＝，AB＝2，S△ABC＝，则BC的长为(　　)‎ A．　 B．7‎ C．　 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵S△ABC＝AB·AC·sinA ‎＝×2×AC×＝，∴AC＝1.‎ 则BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA ‎＝22＋12－2×2×1×＝3‎ ‎∴BC＝，故选C．‎ ‎2．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)‎ A．2　 B．－2‎ C．4　 D．－4‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意，得S△ABC＝||·||·sinA ‎＝×4×1×sinA＝，‎ ‎∴sinA＝，又∵A∈(0，)，‎ ‎∴cosA＝.‎ ‎∴·＝||·||·cosA＝4×1×＝2.‎ ‎3．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是(　　)‎ A．30°　 B．45°‎ C．60°　 D．90°‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意得＝sinB＝，又∵∠B为锐角，‎ ‎∴B＝45°，又＝＝，sinA＝sinB×＝，‎ ‎∴∠A＝30°.‎ ‎4．(2013·新课标Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos‎2A＋cos‎2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)‎ - 6 -‎ A．10　 B．9‎ C．8　 D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由倍角公式得23cos‎2A＋cos‎2A＝25 cos‎2A－1＝0，cos‎2A＝，△ABC为锐角三角形cosA＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－b－13＝0，即5b2－12b－65＝0，解方程得b＝5.‎ ‎5．在△ABC中，周长为‎7.5 cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，下列结论：‎ ‎①a∶b∶c＝4∶5∶6‎ ‎②a∶b∶c＝2∶∶ ‎③a＝‎2 cm，b＝‎2.5 cm，c＝‎‎3 cm ‎④A∶B∶C＝4∶5∶6‎ 其中成立的个数是(　　)‎ A．0个　 B．1个 C．2个　 D．3个 ‎[答案]　C ‎[解析]　由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，∴选C．‎ ‎6．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则为(　　)‎ A．　 B． C．　 D．2 ‎[答案]　B ‎[解析]　由bcsinA＝得c＝4.‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，‎ 故a＝.‎ 所以＝＝，选B．‎ 二、填空题 ‎7．(2014·北京文，12)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝________；sinA＝________.‎ ‎[答案]　2　 ‎[解析]　本题考查了余弦定理，同角基本关系式及正弦定理．‎ c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×＝4，‎ ‎∴c＝2，‎ ‎∵cosC＝，∴sinC＝，‎ - 6 -‎ 由正弦定理得＝，∴sinA＝，‎ 在△ABC中，A∈(0，π)，所以sinA>0恒成立．‎ ‎8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　在△ABC中，由余弦定理得：‎ cosC＝＝＝，‎ ‎∴∠C＝30°.‎ 在△ADC中由正弦定理，得：＝，‎ ‎∴＝.故AD＝.‎ 三、解答题 ‎9．(2013·全国大纲)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝aC．‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若sinAsinC＝，求C．‎ ‎[解析]　(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－aC．‎ 由余弦定理cosB＝＝－，‎ 因此B＝120°.‎ ‎(2)由(1)知A＋C＝60°，所以 cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC ‎＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC ‎＝cos(A＋C)＋2sinAsinC ‎＝＋2× ‎＝.‎ 故A－C＝30°或A－C＝－30°，‎ 因此C＝15°或C＝45°.‎ ‎10．(2014·北京理，15)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.‎ - 6 -‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长．‎ ‎[解析]　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，‎ 所以sin∠ADC＝，‎ 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)‎ ‎＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3，‎ 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ‎＝82＋52－2×8×5×＝49.‎ 所以AC＝7.‎ 一、选择题 ‎1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是(　　)‎ A．(8,10)　 B．(2，)‎ C．(2，10)　 D．(，8)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　若a是最大边，则，‎ ‎∴3≤aa>，∴22　 B．x