2.3解三角形的实际应用举例第1课时训练（附解析北师大版必修五）
一、选择题
1．从塔顶处望地面A处的俯角为30°，则从A处望塔顶的仰角是( )
A．－60° B．30°
C．60° D．150°
[答案] B
2．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为( )
A． B．2
C．2或 D．3
[答案] C
[解析] 由题意画出三角形如下图．则∠ABC＝30°，
由余弦定理得，cos30°＝，∴x＝2或.
3．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )
A．km B．km
C．km D．km
[答案] B
[解析] 由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝km.
4．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为( )
A．2km B．6km
C．2km D．8km
[答案] B
[解析] 如图，
∵||＝2，||＝4，∠AOB＝120°，
- 7 -
∴∠A＝60°，||＝＝2.
经过h，该船的航程为2×＝6(km)．
5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a(km) B．a(km)
C．a(km) D．2a(km)
[答案] B
[解析] 在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°.
∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2×(－)＝3a2，
∴AB＝a(km)．
6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A．米 B．米
C．200米 D．200米
[答案] A
[解析] 如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°，∴BC＝200cot60°＝，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝.
∴CD＝AB－AM＝.
二、填空题
7．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．
[答案]
[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC＝45°－30°＝15°，
- 7 -
∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，
∴AC＝AB＝40米，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，
在△ACD中，由正弦定理，得
CD＝·AC＝·40＝.
8．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)
[答案] 4.2
[解析] 作出示意图如图．由题意知，
AB＝24×＝6，
∠ASB＝45°，由正弦定理得，＝，
可得BS＝＝3≈4.2(km)．
三、解答题
9．海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度．
[解析] 如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝10，∠ABC＝120°由余弦定理，得
- 7 -
AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos120°
即700＝100＋BC2＋10BC，∴BC＝20，
设B船速度为v，则有v＝＝15(海里/小时)．
即B船的速度为15海里/小时．
10．在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)．
[解析] 由题意画出示意图(AA′表示小明的身高)．
∵AB＝200，∠CA′B′＝45°，∠CB′D′＝60°，
∴在△A′B′C中，＝
∴B′C＝＝＝200(＋1)．
在Rt△CD′B′中，
CD′＝B′C·sin60°＝100(3＋)，
∴CD＝1.8＋100(3＋)≈475(米)．
答：红灯笼高约475米.
一、选择题
1．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋)海里/时 B．20(－)海里/时
C．20(＋)海里/时 D．20(－)海里/时
[答案] B
[解析] 设货轮航行30分钟后到达N处，由题意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，
则∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20，
在△MNS中，由正弦定理得＝，
∴MN＝＝
＝
- 7 -
＝＝10(－)．
∴货轮的速度为10(－)÷＝20(－)(海里/时)．
2．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500m B．200m
C．1000m D．1000m
[答案] D
[解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝＝1 000，
∴BC＝AB·sin45°＝1 000×＝1 000(m)．
3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )
A．5n mlie B．5n mlie
C．10n mlie D．10n mlie
[答案] C
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．
4．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为km，则A、B两船的距离为( )
A．2km B．3km
- 7 -
C．km D．km
[答案] D
[解析] 如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC＝2，BC＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，
∴AB＝.
二、填空题
5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．
[答案] 20米，米
[解析] 如图，依题意有甲楼的高度AB＝20·tan60°＝20(米)，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·cot60°＝米，
故乙楼的高度为CD＝20－＝(米)．
6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C处向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15°的方向上，行驶15km后到达B处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD等于________km.
[答案] 5(2－)
[解析] 在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°－15°＝15°，
由正弦定理，得BC＝＝＝5.
又CD＝BC·tan∠DBC＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－)．
三、解答题
7．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
- 7 -
[解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝60°.
由正弦定理，得AC＝＝
＝20(3＋)．
设C到AB的距离为CD，
则CD＝ACsin∠CAB＝AC＝20(3＋)．
答：河的宽度为20(＋3)米．
8．在大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
[解析] 如下图，设经过t小时，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD．则根据题意，知在△ABC中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，知
CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60°
＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos60°
＝244t2－560t＋400＝244(t－)2＋400－244×()2，
∴当t＝时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
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