2015版高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例（第2课时）练习 北师大版必修5.doc

‎2.3解三角形的实际应用举例第2课时训练（含解析北师大版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．甲船在B岛的正南A处，AB＝‎10km，甲船以‎4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以‎6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　)‎ A．min　　　　　　 B．h C．21.5min　 D．2.15h ‎[答案]　A ‎[解析]　如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：‎ PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，‎ 即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－)＝28x2－20x＋100.‎ 当x＝－＝时，s2最小，此时x＝h＝min.‎ ‎2．如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β、α(α＜β)，则A点离地面的高AB等于(　　)‎ A．　　　 B． C．　 D． ‎[答案]　A ‎[解析]　由tanα＝，tanβ＝，联立解得AB＝.‎ ‎3．一质点受到平面上的三个力、、(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知、成60°角，且、的大小分别为2和4，则的大小为(　　)‎ A．6　 B．2‎ C．2　 D．2 ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意，得＋＋＝0，‎ ‎∴＋＝－，‎ - 8 -‎ ‎∴(＋)2＝2，‎ ‎∴2＋2＋2·＝2，‎ ‎∴4＋16＋2×2×4×cos60°＝2，‎ ‎∴2＝28，∴||＝2.故选D．‎ ‎4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(　　)‎ A．5海里　 B．5海里 C．10海里　 D．10海里 ‎[答案]　C ‎[解析]　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，‎ ‎∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，‎ 在Rt△ABC中，求得AB＝5，‎ ‎∴这艘船的速度是＝10(海里/小时)．‎ ‎5．江岸边有一炮台高‎30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)‎ A．‎10‎米　 B．‎100‎米 C．‎20‎米　 D．‎‎30米 ‎[答案]　D ‎[解析]　设炮台顶部为A，两条船分别为B，C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.‎ ‎6.如图，在一幢‎20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是(　　)‎ A．20(1＋)m　　 B．20(1＋)m C．10(＋)m　 D．20(＋)m ‎[答案]　B ‎[解析]　由仰角与俯角的意义可知，‎ ‎∠DAE＝60°，∠EAC＝45°，又EC＝‎20m，‎ ‎∴BC＝AE＝‎20m，‎ 在△AED中，DE＝AEtan60°＝‎20m.‎ ‎∴塔吊的高度是20(1＋)m.‎ 二、填空题 - 8 -‎ ‎7．一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________.‎ ‎[答案]　210‎ ‎[解析]　由题意知∠ACB＝120°，‎ 在△ACB中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos∠ACB ‎＝902＋1502－2×90×150×(－)＝44100.‎ ‎∴AB＝210，DE＝210.‎ ‎8．在静水中划船的速度是每分钟‎40m，水流的速度是每分钟‎20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．‎ ‎[答案]　30°‎ ‎[解析]　水流速度与船速的合速度为v，方向指向河岸，如图 由题意可知sinα＝＝＝ ‎∴α＝30°.‎ 三、解答题 ‎9．如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．‎ ‎[解析]　在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90°＋60°＝150°，∠CAB＝90°－75°＝15°，∴∠ABC＝15°.‎ ‎∴△ABC为等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝8，∴BD＝BC·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．‎ ‎10．海岛O上有一座海拔‎1km的山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.‎ ‎(1)求该船的速度；‎ ‎(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？‎ ‎[解析]　(1)如图，在Rt△AOB和Rt△AOC中，OB＝OAcot60°＝，OC＝OAcot30°＝，‎ - 8 -‎ 在△BOC中，由余弦定理得 BC＝＝.‎ ‎∵由C到B用的时间为＝(小时)，‎ ‎∴该船的速度为＝2(千米/小时)．‎ ‎(2)在△OBC中，由余弦定理，得 cos∠OBC＝＝，‎ ‎∴sin∠OBC＝＝.‎ ‎∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB)‎ ‎＝sin∠OBE·cos∠EOB＋cos∠OBE·sin∠EOB＝.‎ 在△BEO中，由正弦定理得 OE＝＝，‎ BE＝＝.‎ ‎∴从B到E所需时间为：‎ ÷2＝(小时)＝5(分钟)．‎ 故船速为‎2千米/小时，该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E离海岛O的距离是‎1.5千米.‎ 一、选择题 ‎1．如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为(　　)‎ A．海里/小时　　　 B．34海里/小时 - 8 -‎ C．海里/小时　 D．34海里/小时 ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知PM＝68，∠MPN＝120°，∠N＝45°，‎ 由正弦定理知＝⇒MN＝68××＝34，‎ ‎∴速度为＝(海里/小时)．‎ ‎2．如图所示，有一广告气球，直径为‎6m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心时，测得仰角∠BAC＝30°时，气球的视角β＝1°，若θ很小时可取sinθ≈θ，试估算该气球的高BC的值约为(　　)‎ A．‎72m　 B．‎‎86m C．‎102m　 D．‎‎118m ‎[答案]　B ‎[解析]　过C作CD⊥AD于D，在Rt△ADC中，先求AC的长，‎ ‎∵sinβ＝，‎ ‎∴AC＝＝≈＝，‎ 再在Rt△ABC中求BC，‎ BC＝ACsin30°＝≈86(m)．‎ ‎3．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 ‎000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为(　　)‎ A．2 500(－1)m　 B．5 ‎000‎m C．4 ‎000m　 D．4 ‎000‎m ‎[答案]　A ‎[解析]　示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，‎ - 8 -‎ ‎∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.‎ 由正弦定理，得＝，又cos75°＝，‎ ‎∴BD＝·cos75°＝2 500(－1)(m)．‎ ‎4．渡轮以‎15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为‎4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到‎0.1km/h)(　　)‎ A．‎14.5km/h　 B．‎‎15.6km/h C．‎13.5km/h　 D．‎‎11.3km/h ‎[答案]　C ‎[解析]　由物理学知识，‎ 画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，‎ ‎∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，‎ 在△ADC中，由余弦定理，得 AC＝ ‎＝＝≈13.5(km/h)．‎ 故选C．‎ 二、填空题 ‎5．有一长为‎100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________米．‎ ‎[答案]　50(－)‎ ‎[解析]　如图所示，‎ 在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，‎ AB＝100，∴AC＝50.‎ 又在△ACD中，∠ADC＝30°，‎ ‎∴∠DAB＝45°－30°＝15°.‎ sin15°＝sin(45°－30°)＝.‎ 在△ABD中，由正弦定理，得＝，‎ ‎∴BD＝＝＝50(－)(米)．‎ - 8 -‎ ‎6．在灯塔上面相距‎50米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．‎ ‎[答案]　25(＋1)(米)‎ ‎[解析]　由题意，作出图形如图所示，‎ 设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，‎ 可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°，‎ ‎∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°，‎ 又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得＝，‎ ‎∴AC＝＝＝25(＋)(米)．‎ ‎∴出事渔船离灯塔的距离 CD＝AC＝＝25(＋1)(米)．‎ 三、解答题 ‎7．A、B是海平面上的两个点，相距‎800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD．‎ ‎[解析]　如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD．因此，只需在△ABD中求出AD即可．‎ 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，‎ 由＝，‎ 得AD＝＝＝800(＋1)(m)．‎ ‎∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，‎ ‎∴CD＝AD＝800(＋1)≈2 186(m)．‎ 答：山高CD为2 ‎186 m.‎ ‎8．如图所示，A、B两个小岛相距21n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．‎ - 8 -‎ ‎[解析]　行驶t小时后，甲船行驶了9tn mile到达C处，乙船行驶了6tn mile到达D处．当9t时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.‎ 综上可知，t＝2时，CD取最小值3，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3n mile.‎ - 8 -‎