2015版高中数学 2.5 等比数列的前n项和（第1课时）练习.doc

‎2.5等比数列的前n项和第1课时检测（带解析新人教B版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．设等比数列{an}的前n项和Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　)‎ A．210＋2　　　　　　 B．29－2‎ C．210－2 D．211－2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵q＝＝2，∴S10＝＝2(210－1)＝211－2，选D．‎ ‎2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为(　　)‎ A．3 B．0‎ C．－1 D．任意实数 ‎[答案]　C ‎[解析]　S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，＝，‎ 所以a＝－1.‎ ‎3．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝‎3a3，则公比q的值为(　　)‎ A．－　 B． C．1或－ D．－1或 ‎[答案]　C ‎[解析]　当q＝1时，S3＝‎3a1＝‎3a3符合题意；‎ 当q≠1时，S3＝＝‎3a1q2.‎ ‎∵a1≠0，‎ ‎∴1－q3＝3q2(1－q)．‎ 由1－q≠0，两边同时约去1－q，得 ‎1＋q＋q2＝3q2，‎ 即2q2－q－1＝0，解得q＝－.‎ 综上，公比q＝1，或q＝－.‎ ‎4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝(　　)‎ A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)‎ C．(1－4－n) D．(1－2－n)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵＝q3＝，∴q＝.‎ - 5 -‎ ‎∴an·an＋1＝4·()n－1·4·()n＝25－2n，‎ 故a‎1a2＋a‎2a3＋a‎3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ‎＝＝(1－4－n)．‎ ‎5．(2014·大纲全国卷文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)‎ A．31 B．32‎ C．63 D．64‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　解法1：由条件知：an>0，且 ‎∴∴q＝2.‎ ‎∴a1＝1，∴S6＝＝63.‎ 解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.‎ ‎6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)‎ A．7 B．9‎ C．63 D．7或63‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，‎ ‎∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，‎ 即(21－S10)2＝S10(49－21)，‎ ‎∴S10＝7或63.‎ 二、填空题 ‎7．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．‎ ‎[答案]　127‎ ‎[解析]　设数列{an}的公比为q(q>0)，‎ 则有a5＝a1q4＝16，‎ ‎∴q＝2，数列的前7项和为S7＝＝＝127.‎ ‎8．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________.‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得⇒2n＝32⇒n＝5.‎ 三、解答题 ‎9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式； ‎ ‎(2)求数列{2an}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)由题设，知公差d≠0，‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得 ＝，‎ - 5 -‎ 解得d＝1，或d＝0(舍去)．‎ 故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.‎ ‎(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.‎ ‎10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．‎ ‎(1)求{an}的公比q；‎ ‎(2)若a1－a3＝3，求Sn.‎ ‎[解析]　(1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，‎ ‎∴q＝1不满足题意．‎ ‎∴＝a1＋，‎ 解得q＝－.‎ ‎(2)由(1)知q＝，‎ 又a1－a3＝a1－a1q2＝a1＝3，‎ ‎∴a1＝4.‎ ‎∴Sn＝＝[1－(－)n].‎ 一、选择题 ‎1．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为(　　)‎ A．21 B．42‎ C．63 D．84‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，‎ 又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，‎ ‎∵an>0，∴q>0，∴q＝2，‎ ‎∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.‎ ‎2．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．2或－2 D．2或－1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.‎ ‎3．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是(　　)‎ A．1 061 B．1 023‎ C．1 024 D．268‎ ‎[答案]　B - 5 -‎ ‎[解析]　由a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，‎ ‎∴＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝1 023.‎ ‎4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a‎2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)‎ A．　 B． C． D． ‎[答案]　B ‎[解析]　{an}是正数组成的等比数列，∴a3＝＝1，又S3＝7，∴，消去a1得，＝7，解之得q＝，∴a1＝4，∴S5＝＝.‎ 二、填空题 ‎5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　若q＝1时，S3＝‎3a1，S6＝‎6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，‎ ‎∴＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.‎ ‎∴a4＝a1q3＝3.‎ ‎6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　由题意，得，‎ 解得S奇＝－80，S偶＝－160，‎ ‎∴q＝＝＝2.‎ 三、解答题 ‎7．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，首项a1＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析]　(1)由已知S3＝a1＋a2＋a3＝，＋q＋q2＝.‎ q2＋q－6＝0，‎ ‎(q＋3)(q－2)＝0‎ q＝2或q＝－3.(舍)‎ ‎∴an＝a1·qn－1＝2n－2.‎ ‎(2)bn＝6n－61＋log22n－2‎ ‎＝6n－61＋n－2＝7n－63.‎ bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，‎ - 5 -‎ ‎∴数列{an}是等差数列．‎ 又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n(n－1)×7‎ ‎＝－56n＋n(n－1)×7‎ ‎＝n2－n.‎ ‎8．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和．‎ ‎[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d＝＝＝3.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．‎ 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 q3＝＝＝8，解得q＝2.‎ 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，‎ 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．‎ ‎(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．‎ 数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.‎ 所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.‎ - 5 -‎