2015版高中数学 3.4 基本不等式（第2课时）练习.doc

‎3.4基本不等式第2课时训练（带解析新人教版B版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　)‎ A．10　　　　　　　　 B．25‎ C．5　 D．2 ‎[答案]　D ‎[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D.‎ ‎2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　)‎ A．100　 B．50‎ C．20　 D．10‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B.‎ ‎3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.>　 B．＋≤1‎ C.≥2　 D．≤ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，‎ ‎∴ab≤4，∴≥，‎ ‎∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D.‎ ‎4．已知正数x、y满足＋＝1，则xy有(　　)‎ A．最小值　 B．最大值16‎ C．最小值16　 D．最大值 ‎[答案]　C ‎[解析]　∵x>0，y>0，∴＋≥2＝4，又∵＋＝1，‎ ‎∴4≤1，‎ ‎∴≤，‎ ‎∴xy≥16，故选C.‎ ‎5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则‎2a＋2b的最小值是(　　)‎ A．6　 B．4 - 5 -‎ C．2　 D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵‎2a>0,2b>0，a＋b＝3，‎ ‎∴‎2a＋2b≥2＝2＝2＝4，‎ 等号成立时，‎2a＝2b，∴a＝b＝.‎ ‎6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(　　)‎ A．18　 B．12‎ C．2　 D． ‎[答案]　A ‎[解析]　∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y ‎≥2＝2＝2＝18，‎ 等号在3x＝32y即x＝2y时成立．‎ ‎∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.‎ 二、填空题 ‎7．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　∵x>0，y>0，＋＝2，‎ ‎∴2≥2，∴xy≥15，‎ 当且仅当＝，且＋＝2，即x＝5，y＝3时，取等号．‎ ‎8．建造一个容积为‎8 m3‎，深为‎2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．‎ ‎[答案]　1 760‎ ‎[解析]　设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为 m，则总造价为：‎ y＝480＋80××2＝480＋320 ‎≥480＋320×2＝1 760.‎ 当且仅当x＝ 即x＝2时，y取最小值1 760.‎ 所以水池的最低总造价为1 760元．‎ 三、解答题 ‎9．已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c.‎ ‎[证明]　∵a、b、c∈R＋，，，均大于0，‎ 又＋b≥2＝‎2a，‎ - 5 -‎ ＋c≥2＝2b，‎ ＋a≥2＝‎2c，‎ 三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥‎2a＋2b＋‎2c，‎ ‎∴＋＋≥a＋b＋c.‎ ‎10．已知a、b、c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．‎ ‎[证明]　∵≤，∴≥ ‎＝(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．‎ 同理≥(b＋c)(等号在b＝c时成立)．‎ ≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．‎ 三式相加得＋＋ ‎≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)‎ ‎＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).‎ 一、选择题 ‎1．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(　　)‎ A．7　 B．3 C．1＋2　 D．5‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由已知得x＋3y＝2，‎ ‎3x>0,27y>0，‎ ‎∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，‎ 当且仅当3x＝27y，‎ 即x＝1，y＝时等号成立．‎ ‎2．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为(　　)‎ A．6　 B．7‎ C．8　 D．9‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a＋b＝1，a>0，b>0，‎ ‎∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．‎ - 5 -‎ ‎∴＝· ‎＝·＝ ‎＝＝＋1≥＋1＝9，故选D.‎ ‎3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)‎ A.　 B． C．2　 D．4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－‎2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋ ‎≥2＋2＝4　(等号在a＝b＝时成立)．‎ 故所求最小值为4，选D.‎ ‎4．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有(　　)‎ A．0个　 B．1个 C．2个　 D．3个 ‎[答案]　B ‎[解析]　①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－‎2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋0，∴(x＋y)(＋)‎ ‎＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，‎ 由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.‎ ‎6．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.‎ - 5 -‎ 又∵xy≤()2，‎ ‎∴(x＋y)2≤()2＋1，‎ 即(x＋y)2≤1.‎ ‎∴(x＋y)2≤.‎ ‎∴－≤x＋y≤.‎ ‎∴x＋y的最大值为.‎ 三、解答题 ‎7．已知a、b均为正实数，且‎2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．‎ ‎[解析]　∵‎2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>0，b>0，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋ ‎≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．‎ 由，得.‎ ‎∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.‎ ‎8．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：‎ ‎(1)仓库面积S的取值范围是多少？‎ ‎(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？‎ ‎[解析]　(1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.‎ 由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.‎ ‎∵x>0，y>0，‎ ‎∴4x＋9y≥2＝12.‎ ‎∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.‎ ‎∴0