2015版高中数学 第一章 数列单元质量评估（二）新人教版必修5.doc

第一章数列单元质量检测2（有解析新人教版必修5）‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题　共50分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)‎ ‎1．在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，则tan(a4＋a6)等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C．1 D．－1‎ 解析：∵a1＋a5＋a9＝‎3a5＝，∴a5＝.‎ ‎∴a4＋a6＝‎2a5＝，∴tan(a4＋a6)＝tan＝.‎ 答案：A ‎2．已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n的值为(　　)‎ A．9 B．21‎ C．27 D．36‎ 解析：由题意可知Sn＝＝18，又由已知得所以3(a1＋an)＝4，即a1＋an＝.所以n＝＝＝27.故选C.‎ 答案：C ‎3．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n个图有化学键(　　)‎ A．6n个 B．(4n＋2)个 C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个 解析：各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键(5n＋1)个．故选D.‎ 答案：D 7‎ ‎4．已知等差数列{an}的通项为an＝2n＋1，前n项和为Sn，则数列的前10项和为(　　)‎ A．120 B．100‎ C．75 D．70‎ 解析：由已知得a1＝3，从而Sn＝＝n(n＋2)，所以＝n＋2，即数列是公差为1，首项为3的等差数列，则前10项和为T10＝3×10＋＝75.‎ 答案：C ‎5．已知数列{an}中，a1＝1，Sn＝，则{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝　 D．an＝ 解析：∵＝＝＋2，∴是以1为首项，公差为2的等差数列．‎ ‎∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，即Sn＝.‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝－，‎ ‎∴an＝　，注意验证n＝1的情况是否符合．‎ 答案：C ‎6．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和100个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)‎ A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 解析：设至少要n秒钟，则1＋22＋…＋2n－1≥100，即2n－1≥100，所以n≥7.‎ 答案：B ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝(　　)‎ A．1 B．9‎ C．10 D．55‎ 解析：∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，‎ ‎∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，即Sn＋1－Sn＝1.‎ 7‎ ‎∵当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.‎ 答案：A ‎8．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设数列{an}的公差为d，由a5＝5，S5＝15得，解得，从而an＝n，‎ ‎∴＝＝－，从而S100＝＋＋…＋＝1－＝.‎ 答案：A ‎9．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列等价于(　　)‎ A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 解析：由题意得A1＝a‎1a2，A2＝a‎2a3，A3＝a‎3a4，A4＝a‎4a5，A5＝a‎5a6，…，Ai＝aiai＋1，…，若{An}为等比数列，则有＝＝＝＝…＝＝＝…，即＝＝＝＝…＝＝＝…，从而＝＝＝＝…＝＝＝…，由等比数列的定义可知a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．‎ 答案：D ‎10．(2012·湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在 ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：‎ ‎①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；‎ ‎④f(x)＝ln|x|.‎ 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(　　)‎ A．①② B．③④‎ C．①③ D．②④‎ 7‎ 解析：设数列{an}的公比为q.对于①，＝＝q2，是常数，故①符合“保等比数列函数”的定义；‎ 对于②，＝＝2an＋1－an，不是常数，故②不符合“保等比数列函数”的定义；‎ 对于③，＝＝＝，是常数，故③符合“保等比数列函数”的定义；‎ 对于④，＝，不是常数，故④不符合“保等比数列函数”的定义．‎ 答案：C 第Ⅱ卷(非选择题　共100分)‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上)‎ ‎11．在等差数列{an}中，若Sn＝S29－n(n0，n＝1,2,3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝________.‎ 解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得a＝22n，又an>0，则an＝2n，故log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.‎ 答案：n2‎ ‎14．若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝20，则x5＋x16＝________.‎ 解析：由为调和数列知{xn}为等差数列，于是x5＋x16＝x1＋x20＝…＝x10＋x11＝2.‎ 答案：2‎ ‎15．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6‎ 7‎ 成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．‎ 解析：设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}，故q的最小值是.‎ 答案： 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎16．(本小题12分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.‎ ‎(1)求an和bn；‎ ‎(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．‎ 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则有10＋45d＝55，q3＝8，分别可解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.‎ ‎(2)分别从{an}，{bn}的前3项中各抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求事件的概率为.‎ ‎17．(本小题12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.求数列{bn}的通项公式．‎ 解：设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，‎ 得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.‎ 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d，‎ 依题意，有b3b5＝b，即(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13.‎ 当d＝2时，{bn}的第3项为5，又第4 项为10，故公比为2.‎ 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.‎ 所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝×2n－1＝5×2n－3.‎ 当d＝－13时，b3＝20，又b4＝10，故公比为.‎ 由b3＝b1·2，即20＝b1·2，解得b1＝80.‎ 所以{bn}是以80为首项，为公比的等比数列，其通项公式为bn＝80×n－1＝5×n－5.‎ ‎18．(本小题12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＋‎ 7‎ a5＝64.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)设{an}公比为q(q>0)，则an＝a1qn－1，由已知得a1＋a1q＝2，a1q2＋a1q3＋a1q4＝64，分别化简，得aq＝2，aq6＝64，又a1>0，故q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝a＋＋2＝4n－1＋＋2，从而Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝(4n－41－n)＋2n＋1.‎ ‎19．(本小题12分)(2012·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解：(1)当n＝1时，T1＝2S1－1.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝‎2a1－1，解得a1＝1.‎ ‎(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1　①，所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1　②，②－①得an＋1＝2an＋2，所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)，易得a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2，所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2，n∈N*.‎ ‎20．(本小题13分)(2012·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.‎ ‎(1)求an，bn；‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)由Sn＝2n2＋n得a1＝S1＝3；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，当n＝1时，a1＝3也满足．故an＝4n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2Tn＝3×2＋7×22＋11×23＋…＋(4n－1)·2n,2Tn－Tn＝(4n－1)·2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5，从而Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.‎ ‎21．(本小题14分)(2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2‎ 7‎ ‎ 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．‎ ‎(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；‎ ‎(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．‎ 解：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，‎ a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，‎ an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.‎ ‎(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d ‎＝2an－2－d－d＝…‎ ‎＝n－‎1a1－d.‎ 整理得an＝n－1(3 000－d)－2d ‎＝n－1(3 000－3d)＋2d.‎ 由题意知am＝4 000，‎ ‎∴m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000，‎ 解得d＝＝.‎ 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．‎ 7‎