2015版高中数学 第一章 数列习题课（1）新人教版必修5.doc

第一章数列习题课1（附解析新人教版必修5）‎ 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1．(2012·福建卷)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)‎ A．1　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a5＝10，所以a1＋a1＋4d＝‎2a1＋4d＝10　①，而a4＝a1＋3d＝7　②，联立①②解得d＝2.‎ 答案：B ‎2．(2012·重庆卷)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　)‎ A．7 B．15‎ C．20 D．25‎ 解析：数列{an}的公差d＝＝2，则a1＝－1，a5＝7，所以S5＝＝15.‎ 答案：B ‎3．若数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设等差数列的公差为d，则4d＝－，由a6＝0，a2＝2，得d＝，所以＝＋2d＝＋2×，解得a4＝.‎ 答案：A ‎4．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为(　　)‎ A．12 B．18‎ C．22 D．44‎ 解析：S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝‎5a6＝10，则a6＝2，从而S11＝×11＝‎11a6＝22.‎ 答案：C ‎5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为(　　)‎ A．‎1升　　　B.升　　　C.升　　　D.升 解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得，即，解得，所以a5＝a 3‎ ‎1＋4d＝.‎ 答案：B ‎6．(2012·浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)‎ A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0‎ C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0‎ D．若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 解析：依据等差数列的前n项和与二次函数的关系可得A，B，D正确．对于选项C，若数列{an}：－1,1,3，…，则数列{Sn}：－1,0,3，…，满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不成立，故C错误．‎ 答案：C 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7．(2012·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；Sn＝________.‎ 解析：设{an}的公差为d，因为S2＝a3，所以a1＋a2＝a3，从而a1＋a1＋d＝a1＋2d，解得d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝n2＋n.‎ 答案：1　n2＋n ‎8．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.‎ 解析：由题意得S9＝S4，则‎5a1＋30d＝0，即a1＋6d＝0，所以d＝－.又ak＋a4＝0，即a1＋(k－1)×＋a1＋3×＝0，即(k－1)×＝－，则k＝10.‎ 答案：10‎ ‎9．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若＝4，则的值为________．‎ 解析：由题意知S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．由＝4，得S4－S2＝3S2，从而S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，从而＝.‎ 答案： 三、解答题(共46分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)‎ ‎10．(本小题15分)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.‎ 3‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ 解：(1)设{an}的公差为d，则由已知得，解得，所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝na1＋d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．‎ ‎11．(本小题15分)已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q为常数)．‎ ‎(1)当p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？‎ ‎(2)求证：对任意的p，q，数列{an＋1－an}是等差数列．‎ 解：(1)若数列{an}是等差数列，则an－an－1＝2pn－p＋q(n≥2)是一个与n无关的常数，所以2p＝0，即p＝0.故当p＝0，q为任意实数时，数列{an}是等差数列．‎ ‎(2)由(1)知an－an－1＝2pn－p＋q(n≥2)，an＋1－an＝2p(n＋1)－p＋q，则(an＋1－an)－(an－an－1)＝2p(常数)，所以，对任意的p，q，数列{an＋1－an}是等差数列．‎ ‎12．(本小题16分)(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝‎4a2，解得a2＝‎3a1＝3；由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝‎5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.当n>1时有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.‎ 综上，{an}的通项公式为an＝ 3‎