2015版高中数学 第一章 数列习题课（2）新人教版必修5.doc

第一章数列习题课2（含解析新人教版必修5）‎ 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2是等比数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≠0　　　　　　　　 B．a≠1‎ C．a≠0或a≠1 D．a≠0且a≠1‎ 解析：由题意得数列的首项为a，公比为1－a，显然a≠0,1－a≠0，即a≠0且a≠1.‎ 答案：D ‎2．(2012·安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a‎3a11＝16，则a5＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：依据等比数列的性质可知a‎3a11＝a＝16，又{an}的各项都是正数，从而a7＝a5×22＝4，所以a5＝1.‎ 答案：A ‎3．(2012·北京卷)已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是(　　)‎ A．a1＋a3≥‎2a2‎ B．a＋a≥‎2a C．若a1＝a3，则a1＝a2‎ D．若a3>a1，则a4>a2‎ 解析：设{an}的公比为q.对于A，若a1＋a3≥‎2a2，则a1(q2－2q＋1)≥0，即a1(q－1)2≥0，由于a1不能判断正负，所以A不正确；对于B，若a＋a≥‎2a，则a(q2－1)2≥0，因为a>0，且(q2－1)2≥0，所以B正确；对于C，由a1＝a3，得q＝1或q＝－1，所以C不正确；对于D，若a3>a1，则a1(q2－1)>0，而若a4>a2，则a2(q2－1)>0，即a1q(q2－1)>0，由于q不能判断正负，所以D不正确．‎ 答案：B ‎4．将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积，组成新的数列a‎1a2，a‎2a3，a‎3a4，…，此数列是(　　)‎ A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 解析：由题意得a2＝a1q，a3＝a1q2，a4＝a1q3，…，从而a‎1a2＝aq，a‎2a3＝aq3，a‎3a4＝aq5，…，所以数列a‎1a2，a‎2a3，a‎3a4，…是公比为q2的等比数列．‎ 答案：B 3‎ ‎5．在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝(　　)‎ A．12 B．4‎ C．3 D．2‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝q4＝.因为＝q8＝，所以a9＋a11＝2，同理可得a13＋a15＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝3.‎ 答案：C ‎6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若‎8a2＋a5＝0，则下列式子中的值不能确定的是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q3＝－8，解得q＝－2，因此选项A，B，C中的值均可确定．‎ 答案：D 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7．(2012·广东卷)若等比数列{an}满足a‎2a4＝，则a‎1aa5＝________.‎ 解析：因为a‎2a4＝a＝，所以a‎1aa5＝a＝.‎ 答案： ‎8．(2012·辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.‎ 解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an(1＋q2)＝5anq，‎ ‎∴2(1＋q2)＝5q，解得q＝2或q＝.‎ ‎∵等比数列{an}为递增数列，且a1>0，∴q>1，∴q＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则①X＋Z＝2Y；②Y(Y－X)＝Z(Z－X)；③Y2＝XZ；④Y(Y－X)＝X(Z－X)中，恒成立的是________(填序号)．‎ 解析：等比数列中，连续n项和仍成等比数列，即X，Y－X，Z－Y成等比数列，所以(Y－X)2＝X(Z－Y)，化简得Y(Y－X)＝X(Z－X)，故④正确．取等比数列1,2,4，令n＝1，则X＝1，Y＝3，Z＝7，可以验证①②③都不正确．‎ 答案：④‎ 3‎ 三、解答题(共46分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)‎ ‎10．(本小题15分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,‎6a1＋a3＝30，求an和Sn.‎ 解：设{an}的公比为q，由题设得，解得或.‎ 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；‎ 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.‎ ‎11．(本小题15分)已知等比数列{an}的公比q＝－.‎ ‎(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；‎ ‎(2)证明：对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．‎ 解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，‎ 所以数列{an}的前n项和Sn＝ ‎＝.‎ ‎(2)对任意k∈N*,2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝‎2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．‎ ‎12．(本小题16分)(2012·山东卷)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(‎9m,‎92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.‎ 解：(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝‎3a4＝84，a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝45，d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以an＝1＋9(n－1)＝9n－8.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝9n－8.‎ ‎(2)对m∈N*，若‎9m