数与式——代数式2
一．选择题（共8小题）
1．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…
按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
A．31 B．46 C．51 D．66
2．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
A．20 B．27 C．35 D．40
3．某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012年大米生产总量为（ ）
A．a（1+10%）万吨 B．万吨 C．a（1﹣10%）万吨 D．万吨
4．若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
5．当x=﹣2时，代数式x2﹣2x+1的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．9
6．若（x﹣1）2=2，则代数式2x2﹣4x+5的值为（ ）
A．11 B．6 C．7 D．8
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a2=3a4 B．+= C．﹣2（a﹣1）=2﹣2a D．5a+3b=8ab
8．观察下列数表：
1 2 3 4…第一行
2 3 4 5…第二行
3 4 5 6…第三行
4 5 6 7…第四行
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（ ）
11
A．2n﹣1 B．2n+1 C．n2﹣1 D．n2
二．填空题（共7小题）
9．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 _________ ．
10．化简：2x﹣x= _________ ．
11．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103= _________ ．
12．将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为 _________ ．
13．已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是 _________ ．（用含n的代数式表示）
14．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 _________ 分．
15．观察下列一组数：、1、、、…，它们是按一定规律排列的那么这组数的第n个数是 _________ ．（n为正整数）
三．解答题（共6小题）
16．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
17．已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．
11
18．观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想= _________ ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：+++…+．
19．任意给定一个非零数m，按下列程序计算．
（1）请用含m的代数式表示该计算程序，并给予化简；
（2）当输入的数m=﹣2009时，求输出结果．
20．已知代数式3x2﹣4x+6值为9，则x2﹣+6的值．
21．用同样大小的灰、白两种正方形地砖铺设地面，方法是：第一层只有2块白色地砖，第二层是在第一层外面围一圈灰色地砖，第三层是在第二层外面围一圈白色地砖，…，如图所示．
（1）第7层共有几块地砖，是白色的还是灰色的？
（2）第n层共有几块地砖？（结果必须化简）如果这些地砖是白色的，那么正整数n有什么特点？
11
数与式——代数式2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…
按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
A． 31 B．46 C．51 D． 66
考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 规律型．
分析： 由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
解答： 解：第1个图中共有1+1×3=4个点，
第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，
第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，
…
第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．
故选：B．
点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．
2．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
A． 20 B．27 C．35 D． 40
考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 规律型．
分析： 第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n=，进一步求得第（6）个图形中面积为1的正方形的个数即可．
解答： 解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，
第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，
第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，
11
…，
按此规律，
第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，
则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．
故选：B．
点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
3．某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012年大米生产总量为（ ）
A． a（1+10%）万吨 B．万吨 C．a（1﹣10%）万吨 D． 万吨
考点： 列代数式．
分析： 根据2013年生产大米比2012年大米生产总量增加了10%，可知2012年大米生产总量×（1+10%）=2013年大米生产总量，由此列式即可．
解答： 解：a÷（1+10%）=（万吨）．
故选：B．
点评： 此题考查列代数式，关键是找出题目蕴含的数量关系：2012年大米生产总量×（1+10%）=2013年大米生产总量．
4．若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值为（ ）
A． ﹣1 B．1 C．2 D． 3
考点： 代数式求值．
专题： 整体思想．
分析： 把（m﹣n）看作一个整体并直接代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：∵m﹣n=﹣1，
∴（m﹣n）2﹣2m+2n=（m﹣n）2﹣2（m﹣n），
=（﹣1）2﹣2×（﹣1），
=1+2，
=3．
故选D．
点评： 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
5．当x=﹣2时，代数式x2﹣2x+1的值是（ ）
A． 1 B．﹣1 C6 D． 9
考点： 代数式求值．
专题： 计算题．
分析： 将x=﹣2代入计算即可求出代数式的值．
解答： 解：当x=﹣2时，原式=4+4+1=9，
故选D
点评： 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．若（x﹣1）2=2，则代数式2x2﹣4x+5的值为（ ）
A． 11 B．6 C．7 D． 8
11
考点： 代数式求值．
专题： 计算题．
分析： 已知等式左边利用完全平方公式展开求出x2﹣2x的值，原式变形后将x2﹣2x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵（x﹣1）2=x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x=1，
∴原式=2（x2﹣2x）+5=2+5=7．
故选C
点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A． 2a2+a2=3a4 B．+= C．﹣2（a﹣1）=2﹣2a D． 5a+3b=8ab
考点： 合并同类项；实数的运算；去括号与添括号．
分析： 根据同类项的定义，合并同类项的法则以及去括号法则对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、应为2a2+a2=3a2，故本选项错误；
B、与不能合并，故本选项错误；
C、﹣2（a﹣1）=﹣2a+2，本项正确；
D、5a与3b不能合并，故本项错误，
故选：C．
点评： 本题考查了合并同类项的法则以及去括号法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．观察下列数表：
1 2 3 4…第一行
2 3 4 5…第二行
3 4 5 6…第三行
4 5 6 7…第四行
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（ ）
A． 2n﹣1 B．2n+1 C．n2﹣1 D． n2
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 由数表中数据排列规律可知第n行第n列交叉点上的数正好是对角线上的数，它们分别是连续的奇数．
解答： 解：根据分析可知第n行第n列交叉点上的数应为2n﹣1．
故选：A．
点评： 此题考查了数字的排列规律，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
二．填空题（共7小题）
9．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 规律型．
分析： 观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第n个数即可．
11
解答： 解：根据题意得：这一组数的第n个数是．
故答案为：．
点评： 此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
10．化简：2x﹣x= x ．
考点： 合并同类项．
专题： 计算题．
分析： 利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，直接得出答案．
解答： 解：2x﹣x=x．
故答案为：x．
点评： 此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
11．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103= 552 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 规律型．
分析： 13=12
13+23=（1+2）2=32
13+23+33=（1+2+3）2=62
13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102
13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
解答： 解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2
所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
点评： 本题的规律为：从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2．
12．将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为 （45，12） ．
考点： 规律型：数字的变化类．
11
专题： 压轴题；规律型．
分析： 根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．
解答： 解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；
∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，
∴2014所在的位置是第45行，第12列，
其坐标为（45，12）．
故答案为：（45，12）．
点评： 此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．
13．已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是 3n﹣1 ．（用含n的代数式表示）
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 规律型．
分析： 根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案．
解答： 解；已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是 3n﹣1，
故答案为：3n﹣1．
点评： 本题考查了数字的变化类，规律是第几个数就是3的几次方减1．
14．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 336 分．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 规律型．
分析： 根据题意可得甲报出的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3（n﹣1），由于1+3（n﹣1）=2014，解得n=672，则甲报出了672个数，再观察甲报出的数总是一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，由此得出答案即可．
解答： 解：甲报的数中第一个数为1，
第2个数为1+3=4，
第3个数为1+3×2=7，
第4个数为1+3×3=10，
…，
第n个数为1+3（n﹣1）=3n﹣2，
3n﹣2=2014，则n=672，
甲报出了672个数，一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，得336分．
故答案为：336．
点评： 本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
15．观察下列一组数：、1、、、…，它们是按一定规律排列的那么这组数的第n个数是 ．（n为正整数）
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 规律型．
分析： 根据题中所给出的数据找出规律，根据此规律即可得出结论．
11
解答： 解：∵第一个数=；
第一个数1=；
第三个数=；
第四个数=；
第五个数=；
…，
∴第n个数为：．
故答案为：．
点评： 本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．
三．解答题（共6小题）
16．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
考点： 规律型：图形的变化类．
分析： （1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；
（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案．
解答： 解：（1）第一个图需棋子6，
第二个图需棋子9，
第三个图需棋子12，
第四个图需棋子15，
第五个图需棋子18，
…
第n个图需棋子3（n+1）枚．
答：第5个图形有18颗黑色棋子．
（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，
根据（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670个图形有2013颗黑色棋子．
点评： 此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
17．已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．
考点： 代数式求值．
专题： 整体思想．
11
分析： 先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可．
解答： 解：10x﹣2x2+5
=﹣2（x2﹣5x）+5，
∵x2﹣5x=6，
∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．
点评： 本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．
18．观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想= ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：+++…+．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 规律型；探究型．
分析： （1）根据所给的等式，进行推而广之即可；
（2）根据分式的加减运算法则进行证明；
（3）根据（2）中证明的结论，进行计算．
解答： （1）解：；
（2）证明：右边=﹣=﹣===左边，
所以猜想成立．
（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=．
点评： 此题考查了异分母的分式相减的运算法则．
19．任意给定一个非零数m，按下列程序计算．
（1）请用含m的代数式表示该计算程序，并给予化简；
（2）当输入的数m=﹣2009时，求输出结果．
考点： 列代数式；代数式求值．
分析： （1）÷m以前的式子应带小括号；
（2）把m=﹣2009代入（1）中化简后的式子即可．
解答： 解：（1）依题意得（m2﹣m）÷m﹣2m=m﹣1﹣2m=﹣m﹣1；
（2）当输入的数m=﹣2009时，输出结果为﹣m﹣1=﹣（﹣2009）﹣1=2008．
点评： 本题需注意÷m以前的式子应看成一个整体，带小括号．
11
20．已知代数式3x2﹣4x+6值为9，则x2﹣+6的值．
考点： 代数式求值．
专题： 整体思想．
分析： 先根据题意列出等式3x2﹣4x+6=9，求得3x2﹣4x的值，然后求得x2﹣+6的值．
解答： 解：∵代数式3x2﹣4x+6值为9，∴3x2﹣4x+6=9，∴3x2﹣4x=3，
∴x2﹣=1，∴x2﹣+6=1+6=7．
点评： 本题考查了求代数式的值，找出未知与已知的关系，然后运用整体代入的思想．
21．用同样大小的灰、白两种正方形地砖铺设地面，方法是：第一层只有2块白色地砖，第二层是在第一层外面围一圈灰色地砖，第三层是在第二层外面围一圈白色地砖，…，如图所示．
（1）第7层共有几块地砖，是白色的还是灰色的？
（2）第n层共有几块地砖？（结果必须化简）如果这些地砖是白色的，那么正整数n有什么特点？
考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 规律型．
分析： （1）由图形可知单数层是白色瓷块，双数层是灰色地砖；第一层中白色瓷块有1×2块，第二层中灰色地砖有3×4﹣1×2块，第三层中白色瓷块有5×6﹣3×4块，…，可知第7层的地砖的块数；
（2）由（1）可知第n层的地砖有2n（2n﹣1）﹣（2n﹣2）（2n﹣3）=8n﹣6，从这些地砖是白色的，可知正整数n是奇数．
解答： 解：（1）第7层是奇数层，地砖是白色的，地砖的块数是2×7×（2×7﹣1）﹣（2×7﹣2）（2×7﹣3）=182﹣132=50块；
（2）第n层的地砖有2n（2n﹣1）﹣（2n﹣2）（2n﹣3）=8n﹣6，
∵这些地砖是白色的，
∴正整数n是奇数．
点评： 考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
11
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