数与式——因式分解2
一．选择题（共9小题）
1．若把多项式x2+px+q分解因式可以分解成（x﹣3）（x+5），则p的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．15 D．﹣15
2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab+4b2 D．，
3．把代数式ab2﹣6ab+9a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（b+3）2 B．a（b+3）（b﹣3） C．a（b﹣4）2 D．a（b﹣3）2
4．下列分解因式正确的是（ ）
A．3x2﹣6x=x（3x﹣6） B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）
C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2
5．把a3﹣9a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a+3）（a﹣3） B．a（a2﹣9） C．a（a﹣3）2 D．a（a+3）2
6．已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b﹣a）．则x、y的大小关系是（ ）
A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y
7．化简：，结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
9．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x﹣2）2
二．填空题（共7小题）
10．因式分解：x2﹣1= _________ ．
11．分解因式：（2a+1）2﹣a2= _________ ．
12．当a=9时，代数式a2+2a+1的值为 _________ ．
13．分解因式：9a2﹣30a+25= _________ ．
14．若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a= _________ ．
15．分解因式：a3﹣4a2+4a= _________ ．
16．分解因式：a2b﹣b3= _________ ．
9
三．解答题（共7小题）
17．分解因式：﹣x3+2x2﹣x．
18．已知a、b、c是△ABC的三边且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，请判断△ABC的形状．
19．分解因式：2x3y﹣2xy3．
20．给出三个单项式：a2，b2，2ab．
（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
（2）当a=2010，b=2009时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．
21．求多项式的和，并把结果因式分解．
22．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2（2）a2+b2
23．给定一列代数式：a3b2，ab4，a4b3，a2b5，a5b4，a3b6，…．
（1）分解因式：ab4﹣a3b2；
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列代数式中的第100个代数式．
9
数与式——因式分解2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．若把多项式x2+px+q分解因式可以分解成（x﹣3）（x+5），则p的值是（ ）
A． 2 B．﹣2 C．15 D． ﹣15
考点： 因式分解的意义．
专题： 计算题．
分析： 根据多项式乘多项式法则计算（x﹣3）（x+5），根据多项式相等的条件即可求出p的值．
解答： 解：∵x2+px+q=（x﹣3）（x+5）=x2+2x﹣15，
∴p=2，q=﹣15．
故选A
点评： 此题考查了因式分解的意义，熟练掌握多项式乘多项式法则是解本题的关键．
2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． 16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab+4b2 D． ，
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、16x2+1只有两项，不符合完全平方公式；
B、x2+2x﹣1其中有两项x2、﹣1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C、a2+2ab+4b2另一项不是a、2b的积的2倍，不符合完全平方公式；
D、符合完全平方公式．
故选D．
点评： 本题主要考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；
3．把代数式ab2﹣6ab+9a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A． a（b+3）2 B．a（b+3）（b﹣3） C．a（b﹣4）2 D． a（b﹣3）2
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
解答： 解：ab2﹣6ab+9a，
=a（b2﹣6b+9），
=a（b﹣3）2．
故选D．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
4．下列分解因式正确的是（ ）
A． 3x2﹣6x=x（3x﹣6） B． ﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）
C． 4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） D． 4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
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专题： 计算题．
分析： 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；
B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；
C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；
D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．
5．把a3﹣9a分解因式，结果正确的是（ ）
A． a（a+3）（a﹣3） B．a（a2﹣9） C．a（a﹣3）2 D． a（a+3）2
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答： 解：a3﹣9a
=a（a2﹣9）
=a（a+3）（a﹣3）．
故选A．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
6．已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b﹣a）．则x、y的大小关系是（ ）
A． x≤y B．x≥y C．x＜y D． x＞y
考点： 因式分解的应用．
专题： 因式分解．
分析： 判断x、y的大小关系，把x﹣y进行整理，判断结果的符号可得x、y的大小关系．
解答： 解：x﹣y=a2+b2+20﹣8b+4a=（a+2）2+（b﹣4）2，
∵（a+2）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴x﹣y≥0，
∴x≥y，
故选B．
点评： 考查比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．
7．化简：，结果是（ ）
A． B． C． D．
考点： 因式分解的应用．
专题： 计算题．
分析： 将所求式子的分子分母前两项提取20122，整理后分子提取2010，分母提取2013，约分后即可得到结果．
解答： 解：原式=
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=
=
=．
故选A．
点评： 此题考查了因式分解的应用，是一道技巧性较强的题，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰三角形或直角三角形 D． 等腰直角三角形
考点： 因式分解的应用．
专题： 压轴题；因式分解．
分析： 把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
解答： 解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，
（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，
a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
故选C．
点评： 本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．
9．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（ ）
A． （x﹣1）（x﹣2） B．x2 C．（x+1）2 D． （x﹣2）2
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 首先把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．
解答： 解：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2．
故选：D．
点评： 此题主要考查了因式分解﹣运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
二．填空题（共7小题）
10．因式分解：x2﹣1= （x+1）（x﹣1） ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 方程利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
9
11．分解因式：（2a+1）2﹣a2= （3a+1）（a+1） ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 直接利用平方差公式进行分解即可．
解答： 解：原式=（2a+1+a）（2a+1﹣a）=（3a+1）（a+1），
故答案为：（3a+1）（a+1）．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
12．当a=9时，代数式a2+2a+1的值为 100 ．
考点： 因式分解-运用公式法；代数式求值．
专题： 计算题．
分析： 直接利用完全平方公式分解因式进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵a2+2a+1=（a+1）2，
∴当a=9时，原式=（9+1）2=100．
故答案为：100．
点评： 此题主要考查了因式分解法以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．
13．分解因式：9a2﹣30a+25= （3a﹣5）2 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：原式=（3a）2﹣2×3a×5+52=（3a﹣5）2．
故答案为：（3a﹣5）2
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a= 3 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 直接利用平方差公式进行分解得出即可．
解答： 解：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
15．分解因式：a3﹣4a2+4a= a（a﹣2）2 ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 因式分解．
分析： 观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
解答： 解：a3﹣4a2+4a，
=a（a2﹣4a+4），
=a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
9
点评： 本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
16．分解因式：a2b﹣b3= b（a+b）（a﹣b） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
解答： 解：a2b﹣b3，
=b（a2﹣b2），（提取公因式）
=b（a+b）（a﹣b）．（平方差公式）
故答案为：b（a+b）（a﹣b）．
点评： 本题考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解因式要彻底．
三．解答题（共7小题）
17．分解因式：﹣x3+2x2﹣x．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式﹣x，再根据完全平方公式进行二次分解即可．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
解答： 解：﹣x3+2x2﹣x，
=﹣x（x2﹣2x+1），
=﹣x（x﹣1）2．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
18．已知a、b、c是△ABC的三边且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，请判断△ABC的形状．
考点： 因式分解的应用．
分析： 由a、b、c是△ABC的三边可知，三边都大于0，解其方程得到a=b，从而知道三角形一定是等腰三角形．
解答： 解：a2﹣b2+ac﹣bc=0，
由平方差公式得：
（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a+b+c）=0，
∵a、b、c三边是三角形的边，
∴a、b、c都大于0，
∴本方程解为a=b，
∴△ABC一定是等腰三角形．
点评： 本题考查了因式分解的应用，利用三角形三边都大于0这一条件，解其方程而判定为等腰三角形．
19．分解因式：2x3y﹣2xy3．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式2xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答： 解：2x3y﹣2xy3，
=2xy（x2﹣y2），
=2xy（x+y）（x﹣y）．
9
点评： 此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．给出三个单项式：a2，b2，2ab．
（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
（2）当a=2010，b=2009时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．
考点： 因式分解-提公因式法；整式的加减—化简求值．
专题： 开放型．
分析： 本题要灵活运用整式的加减运算、平方差公式和完全平方公式．
解答： 解：（1）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
b2﹣a2=（b+a）（b﹣a），
a2﹣2ab=a（a﹣2b），
2ab﹣a2=a（2b﹣a），
b2﹣2ab+b（b﹣2a），
2ab﹣b2=b（2a﹣b）；
（写对任何一个式子给五分）
（2）a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，
当a=2010，b=2009时，原式=（a﹣b）2=（2010﹣2009）2=1．
点评： 本题考查了提公因式法，平方差公式，完全平方公式分解因式，关键是熟记并会灵活运用，注意结果能进行因式分解．
21．求多项式的和，并把结果因式分解．
考点： 因式分解-运用公式法；整式的加减．
分析： 可以先相加，然后合并同类项，再利用平方差公式进行因式分解．
解答： 解：x2+2x﹣2+x2﹣2x+1
=（+）x2+（2﹣2）x+（﹣2+1）
=x2﹣1
=（x+1）（x﹣1）．
点评： 本题考查整式的加减，公式法分解因式，对于因式分解有公因式的一定先提公因式，没有公因式的再考虑用平方差公式或完全平方公式等．
22．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2（2）a2+b2
考点： 因式分解-提公因式法；完全平方公式．
专题： 计算题．
分析： （1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；
（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．
解答： 解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；
（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，
=32﹣2×2，
9
=5．
点评： 本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．
23．给定一列代数式：a3b2，ab4，a4b3，a2b5，a5b4，a3b6，…．
（1）分解因式：ab4﹣a3b2；
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列代数式中的第100个代数式．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 规律型．
分析： （1）先提取公因式ab2，再根据平方差公式进行二次分解；
（2）观察归纳，即可求得：那列代数式中的第100个代数式为a50b53．
解答： 解：（1）ab4﹣a3b2=ab2（b+a）（b﹣a）；（3分）（未分解彻底扣1分）
（2）a50b53（3分）（若a或b的指数只写对一个，可得1分）．
点评： 此题考查了提公因式法，公式法分解因式与规律的知识．解题的关键时注意仔细观察，找到规律．还要注意分解要彻底．
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