数与式——二次根式1
一．选择题（共8小题）
1．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
2．要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
3．在式子，，，中，x可以取2和3的是（ ）
A． B． C． D．
4．代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠﹣1 D．x≥﹣1
5．要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．当x＜1时，有意义 B．方程x2+x﹣2=0的根是x1=﹣1，x2=2
C．的化简结果是 D．a，b，c均为实数，若a＞b，b＞c，则a＞c
7．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜2 D．x≤2
二．填空题（共7小题）
9．若y=﹣2，则（x+y）y= _________ ．
10．使二次根式有意义的x的取值范围是 _________ ．
11．已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y= _________ ．
12．若式子有意义，则实数x的取值范围是 _________ ．
10
13．计算：﹣= _________ ．
14．实数a在数轴上的位置如图，化简+a= _________ ．
15．计算：（+1）（﹣1）= _________ ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
17．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
18．先化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x=+1．
19．已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
20．已知+有意义，求的值．
21．计算．
22．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
23．（1）|﹣|﹣+（π+4）0﹣sin30°+；
（2）+÷a，其中a=．
10
数与式——二次根式1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A． x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D． x≠2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 二次根式的被开方数大于等于零．
解答： 解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得 x≤2．
故选：C．
点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A． m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：，
解得：m≥﹣1且m≠1．
故选：D．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．在式子，，，中，x可以取2和3的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求得x的范围，进行判断．
解答： 解：A、的分母不可以为0，即x﹣2≠0，解得：x≠2，故A错误；
B、的分母不可以为0，即x﹣3≠0，解得：x≠3，故B错误；
C、被开方数大于等于0，即x﹣2≥0，解得：x≥2，则x可以取2和3，故C正确；
D、被开方数大于等于0，即x﹣3≥0，解得：x≥3，x不能取2，故D错误．
故选：C．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4．代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
10
A． x≥﹣1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠﹣1 D． x≥﹣1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．
解答： 解：依题意，得
x+1≥0且x﹣1≠0，
解得 x≥﹣1且x≠1．
故选：A．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D． x≥﹣2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 直接利用二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
解答： 解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
则实数x的取值范围是：x≥﹣2．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A． 当x＜1时，有意义 B． 方程x2+x﹣2=0的根是x1=﹣1，x2=2
C． 的化简结果是 D． a，b，c均为实数，若a＞b，b＞c，则a＞c
考点： 二次根式有意义的条件；实数大小比较；分母有理化；解一元二次方程-因式分解法．
专题： 代数综合题．
分析： 根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，因式分解法解一元二次方程，分母有理化以及实数的大小比较对各选项分析判断利用排除法求解．
解答： 解：A、x＜1，则x﹣1＜0，无意义，故本选项错误；
B、方程x2+x﹣2=0的根是x1=1，x2=﹣2，故本选项错误；
C、的化简结果是，故本选项错误；
D、a，b，c均为实数，若a＞b，b＞c，则a＞c正确，故本选项正确．
故选：D．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，实数的大小比较，分母有理化，以及因式分解法解一元二次方程，是基础题，熟记各概念以及解法是解题的关键．
7．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（ ）
A． ①② B．②③ C．①③ D． ①②③
10
考点： 二次根式的乘除法．
专题： 计算题．
分析： 由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．
解答： 解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
①=，被开方数应≥0a，b不能做被开方数，（故①错误），
②•=1，•===1，（故②正确），
③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）．
故选：B．
点评： 本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a＜0，b＜0．
8．二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜2 D． x≤2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，﹣2x+4≥0，
解得x≤2．
故选：D．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
二．填空题（共7小题）
9．若y=﹣2，则（x+y）y= ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据被开方数大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x﹣4≥0且4﹣x≥0，
解得x≥4且x≤4，
∴x=4，
y=﹣2，
∴x+y）y=（4﹣2）﹣2=．
故答案为：．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10．使二次根式有意义的x的取值范围是 x≥﹣3 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
解答： 解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得x≥﹣3．
10
故答案为：x≥﹣3．
点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
11．已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y= ﹣1或﹣7 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0可得x可能的值，进而得到y的值，相减即可．
解答： 解：由题意得x2﹣9=0，
解得x=±3，
∴y=4，
∴x﹣y=﹣1或﹣7．
故答案为﹣1或﹣7．
点评： 考查二次根式有意义的相关计算；得到x可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0．
12．若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≤2且x≠0 ．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，2﹣x≥0且x≠0，
解得x≤2且x≠0．
故答案为：x≤2且x≠0．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．计算：﹣= ．
考点： 二次根式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式求解．
解答： 解：原式=2﹣
=．
故答案为：．
点评： 本题考查了二次根式的加减法，关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
14．实数a在数轴上的位置如图，化简+a= 1 ．
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．
10
分析： 根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加法，可得答案．
解答： 解：+a=1﹣a+a=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了实数的性质与化简，=a（a≥0）是解题关键．
15．计算：（+1）（﹣1）= 1 ．
考点： 二次根式的乘除法；平方差公式．
专题： 计算题．
分析： 两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
解答： 解：（+1）（﹣1）=．
故答案为：1．
点评： 本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．
解答： 解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2
=﹣7+3．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
17．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
考点： 二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；
（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．
解答： 解：（1）原式=﹣4××1
=2﹣
=；
10
（2）原式=[﹣]•
=（﹣]•
=•
=，
∵+|b﹣|=0，
∴a+1=0，b﹣=0，
解得a=﹣1，b=，
当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．
18．先化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x=+1．
考点： 二次根式的化简求值；整式的加减．
分析： 根据去括号、合并同类项，可化简代数式，根据代数式求值，可得答案．
解答： 解；原式=x2﹣2x﹣4
=（x﹣1）2﹣5，
把x=+1代入原式，
=（+1﹣1）2﹣5
=﹣3．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值，先去括号、合并同类项，再求值．
19．已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
考点： 二次根式的化简求值；因式分解的应用．
专题： 计算题．
分析： 根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
解答： 解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，
xy=（1﹣）（1+）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
=7+4．
点评： 本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
20．已知+有意义，求的值．
考点： 二次根式有意义的条件．
10
分析： 先根据二次根式的基本性质：有意义，则a≥0可求x=a，再代入即可求值．
解答： 解：∵+有意义，
∴x﹣a≥0且a﹣x≥0，
∴x=a，
∴==2．
点评： 考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0．
21．计算．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的除法法则、零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=+1﹣1+2﹣+4，然后化简后合并即可．
解答： 解：原式=+1﹣1+2﹣+4
=2+1﹣1+2﹣+4
=8﹣．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
22．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
考点： 二次根式的混合运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： （1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到=2+1﹣2×+﹣1，然后合并即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分母分解因式，然后约分得到原式=，再把a的值代入计算即可．
解答： 解：（1）原式=2+1﹣2×+﹣1
=3﹣+﹣1
=2；
（2）原式=•
=，
10
当a=时，原式==﹣2．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了分式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．
23．（1）|﹣|﹣+（π+4）0﹣sin30°+；
（2）+÷a，其中a=．
考点： 二次根式的混合运算；分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值和分母有理化得到原式=﹣3+1﹣++1，然后合并即可；
（2）先把分子分母因式分解，然后约后合并得到原式=，然后把a的值代入计算即可．
解答： 解：（1）原式=﹣3+1﹣++1
=﹣1；
（2）原式=﹣÷a
=﹣1
=，
当a=+1时，原式==．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和特殊角的三角函数值以及分式的化简求值．
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