数与式——二次根式2
一．选择题（共9小题）
1．下列计算错误的是（ ）
A．3﹣=2 B．x2•x3=x6 C．﹣2+|﹣2|=0 D．（﹣3）﹣2=
2．算式（+×）×之值为何？（ ）
A．2 B．12 C．12 D．18
3．已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥ B．x＞ C．x≥ D．x＞
5．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞5 C．x＜5 D．x≥5
6．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|a﹣1|﹣的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣1 D．1﹣2a
7．把（2﹣x）根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图，则|m﹣n|+=（ ）
A． m﹣1 B．m+1 C．2n﹣m+1 D．2n﹣m﹣1
9．下面化简正确的是（ ）
A．2x﹣5xy=﹣3y B． C．（2x+1）2=4x2+1 D．若x＞0，=2x
二．填空题（共8小题）
10．已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22= _________ ．
11．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是 _________ ．
11
12．计算：= _________ ．
13．已知x、y都是实数，且y=+4，则yx= _________ ．
14．式子有意义的x的取值范围是 _________ ．
15．当x _________ 时，在实数范围内有意义．
16．已知y=++3，则= _________ ．
17．若=2﹣a，则a的取值范围是 _________ ．
三．解答题（共9小题）
18．计算：．
19．计算：（）﹣1+（1+）（1﹣）﹣．
20．化简求值：，其中．
21．计算：．
22．已知：．
23．计算：﹣（+1）0﹣+|﹣5|﹣（sin30°）﹣1．
24．如果y=1，求2x+y的值．
25．使在实数范围内有意义的x的取值范围是 _________ ．
26．计算：（1）|﹣1|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（）﹣1
11
（2）÷﹣×+．
11
数与式——二次根式2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．下列计算错误的是（ ）
A． 3﹣=2 B．x2•x3=x6 C．﹣2+|﹣2|=0 D． （﹣3）﹣2=
考点： 二次根式的加减法；有理数的加法；同底数幂的乘法；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 四个选项中分别根据二次根式的加减法求解，同底数幂的乘法法则求解，绝对值的加减法用负整数指数幂的法则求解．
解答： 解：A、3﹣=2，故A正确，
B、x2•x3=x5，同底数幂相乘，底数不变指数相加，故B错误；
C、﹣2+|﹣2|=0，﹣2+2=0，故C正确；
D、（﹣3）﹣2==，故D正确．
故选：B．
点评： 本题主要考查了二次根式的加减法，同底数幂的乘法，绝对值的加减法，负整数指数幂，解题的关键是根据它们各自法则认真运算．
2．算式（+×）×之值为何？（ ）
A． 2 B．12 C．12 D． 18
考点： 二次根式的混合运算．
分析： 先算乘法，再合并同类二次根式，最后算乘法即可．
解答： 解：原式=（+5）×
=6×
=18，
故选：D．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
3．已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A． 0 B．3 C． D． 9
考点： 二次根式的性质与化简．
专题： 压轴题．
分析： 把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
解答： 解：∵原式=
=
=
∴当（a﹣3）2=0，即a=3时
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代数式的值最小，为即3
故选B．
点评： 用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握．
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≥ B．x＞ C．x≥ D． x＞
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，3x﹣2≥0，
解得x≥．
故选C．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x＞0 B．x＞5 C．x＜5 D． x≥5
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x﹣5＞0，
解得x＞5．
故选B．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
6．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|a﹣1|﹣的结果为（ ）
A． ﹣1 B．1 C．2a﹣1 D． 1﹣2a
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析： 先根据点a在数轴上的位置判断出a及a﹣1的符号，再把代数式进行化简即可．
解答： 解：∵由图可知，0＜a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴原式=1﹣a﹣a=1﹣2a．
故选D．
点评： 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
7．把（2﹣x）根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C．﹣ D． ﹣
考点： 二次根式的性质与化简．
11
分析： 先根据二次根式有意义的条件判断出x的取值范围，再根据二次根式的性质进行解答即可．
解答： 解：∵有意义，
∴x﹣2＞0，即x＞2，
∴2﹣x＜0，
∴原式=﹣=﹣．
故选D．
点评： 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
8．已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图，则|m﹣n|+=（ ）
A． m﹣1 B．m+1 C．2n﹣m+1 D． 2n﹣m﹣1
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析： 根据绝对值是大数减小数，可化简去掉绝对值，根据算术平方根的意义，可得算术平方根，根据合并同类项，可得答案．
解答： 解：原式=n﹣m+n﹣1=2n﹣m﹣1，
故选：D．
点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，先化简，再合并．
9．下面化简正确的是（ ）
A． 2x﹣5xy=﹣3y B． C．（2x+1）2=4x2+1 D． 若x＞0，=2x
考点： 二次根式的性质与化简；合并同类项；完全平方公式；约分．
分析： 根据合并同类项，可判断A，根据分式的约分，可判断B，根据完全平方公式，可判断C，根据二次根式的乘法，可判断D．
解答： 解：A、不是同类项不能合并，故A错误；
B、分式约分后是x+1，故B错误；
C、和平方等于平方和加积的2倍，故C错误；
D、若x＞0，，故D正确；
故选：D．
点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法法则是解题关键．
二．填空题（共8小题）
10．已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22= 10 ．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： 首先把x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，再进一步代入求得数值即可．
解答： 解：∵x1=+，x2=﹣，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（++﹣）2﹣2（+）（﹣）
=12﹣2
=10．
11
故答案为：10．
点评： 此题考查二次根式的混合运算，把代数式利用完全平方公式化简是解决问题的关键．
11．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是 ．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： 先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．
解答： 解：原式=2×﹣4××1
=2﹣
=．
故答案为：．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
12．计算：= 2+1 ．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的除法法则运算．
解答： 解：原式=+
=2+1．
故答案为：2+1．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
13．已知x、y都是实数，且y=+4，则yx= 64 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 存在型．
分析： 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值代入yx进行计算即可．
解答： 解：∵y=+4，
∴，
解得x=3，
∴y=4，
∴yx=43=64．
故答案为：64．
点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件及有理数的乘方，能根据二次根式有意义的条件求出x的值是解答此题的关键．
11
14．式子有意义的x的取值范围是 x≥﹣且x≠1 ．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1．
故答案为：x≥﹣且x≠1．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
15．当x ＞ 时，在实数范围内有意义．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
专题： 探究型．
分析： 先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣1＞0，解得x＞．
故答案为：＞．
点评： 本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解答此题的关键．
16．已知y=++3，则= 2 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．
解答： 解：∵与有意义，
∴，解得x=4，
∴y=3，
∴==2．
故答案为：2．
点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
17．若=2﹣a，则a的取值范围是 a≤2 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，结果为非负数．
解答： 解：∵=2﹣a，
11
∴a﹣2≤0．
即a≤2．
点评： 本题主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．
三．解答题（共9小题）
18．计算：．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 根据零指数幂和负整数指数幂得原式=﹣3+1﹣3+2﹣，然后合并同类二次根式．
解答： 解：原式=﹣3+1﹣3+2﹣
=﹣3．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．
19．计算：（）﹣1+（1+）（1﹣）﹣．
考点： 二次根式的混合运算；负整数指数幂．
分析： 分别进行负整数指数幂、平方差公式、二次根式的化简等运算，然后合并即可．
解答： 解：原式=5+1﹣3﹣2=3﹣2．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算，涉及了负整数指数幂、平方差公式、二次根式的化简等知识，属于基础题，解题的关键是掌握各知识点的运算法则．
20．化简求值：，其中．
考点： 二次根式的化简求值；分式的化简求值．
分析： 先把分式化简：把分子、分母能分解因式的分解，能约分的约分，然后先除后减，化简为最简形式，最后把a的值代入计算．
解答： 解：原式=
=
=
=，
当时，
原式==．
点评： 此题考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．
11
21．计算：．
考点： 二次根式的混合运算；负整数指数幂．
分析： 根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幂的法则计算．
解答： 解：原式=3﹣1﹣4+2=0．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是掌握有关法则，以及公式的使用．
22．已知：．
考点： 二次根式的化简求值；二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的意义可知x和y的值，把x和y的值代入代数式就可以求出它的值．
解答： 解：根据二次根式有意义，得，解得x=，
∴，
∴﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=1．
点评： 根据二次根式的意义确定x和y值，再把x和y的值代入二次根式进行化简求值．
23．计算：﹣（+1）0﹣+|﹣5|﹣（sin30°）﹣1．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 分别进行分母有理化、零指数幂、二次根式的化简、及负整数指数幂的运算，然后合并即可得出答案．
解答： 解：原式=+1﹣1﹣2+5﹣2=3﹣．
点评： 此题考查了二次根式的混合运算、零指数幂及负整数指数幂的运算，结合的知识点较多，注意各部分的运算法则．
24．如果y=1，求2x+y的值．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件可得x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，解可得到x的值，进而算出y的值，然后在计算2x+y的值即可．
解答： 解：根据二次根式有意义的条件可得x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，
解得：x=±2，
则y=1，
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2x+y=2×2+1=5，
2x+y=2×（﹣2）+1=﹣3，
2x+y的值5或﹣3．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
25．使在实数范围内有意义的x的取值范围是 x＞1 ．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：根据题意得，x≥0且x﹣1≠0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
26．计算：（1）|﹣1|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（）﹣1
（2）÷﹣×+．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析： （1）根据绝对值、有理数的乘方、零整数指数幂、负整数指数幂的定义分别进行计算，再把所得的结果相加即可；
（2）根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．
解答： 解：（1）|﹣1|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（）﹣1
=1+4+1﹣3
=3；
（2）÷﹣×+
=﹣+2
=4+．
点评： 此题考查了二次根式的混合运算，在计算时要注意顺序和法则以及结果的符号．
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