方程与不等式——不等式与不等式组2
一．选择题（共9小题）
1．不等式组的解集是（ ）
A．﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x≤2
2．不等式组的解集是（ ）
A．＜x≤2 B．﹣＜x＜2 C．﹣＜x≤2 D．﹣≤x≤2
3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣36 B．a≤﹣36 C．a＞﹣36 D．a≥﹣36
4．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．不等式组的最小整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．不等式组的整数解共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若不等式组的解是x＞2，则（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≤2
8．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
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A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
10．不等式4x﹣3＜2x+5的解集是 _________ ．
11．已知关于x的不等式（3﹣a）x＞a﹣3的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是 _________ ．
12．不等式组的解集是 _________ ．
13．不等式x﹣4≤的解集是 _________ ．
14．如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x的值为 _________ ．
15．某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对得10分，打错或不答扣3分．若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对 _________ 道题．
16．某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最少是 _________ 元．
三．解答题（共8小题）
17．解不等式组：．
18．求不等式组的解集．
19．解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．
20．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
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21．小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．
22．“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
23．现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
24．为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：
农产品种类 A B C
每辆汽车的装载量（吨） 4 5 6
（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？
（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．
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方程与不等式——不等式与不等式组2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．不等式组的解集是（ ）
A． ﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D． ﹣1＜x≤2
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 分别求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
解答： 解：，
由①得，4x＜8，x＜2，
由②得，x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．不等式组的解集是（ ）
A． ＜x≤2 B﹣＜x＜2 C．﹣＜x≤2 D． ﹣≤x≤2
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
解答： 解：，
解①得：x≤2，
解②得：x＞﹣，
则不等式组的解集是：﹣＜x≤2．
故选：C．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． a＜﹣36 B．a≤﹣36 C．a＞﹣36 D． a≥﹣36
考点： 解一元一次不等式组．
专题： 计算题．
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，不等式组有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此即可列不等式求得a的范围．
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解答： 解：，
解①得：x＜a﹣1，
解②得：x≥﹣37，
∵方程有解，
∴a﹣1＞﹣37，
解得：a＞﹣36．
故选：C．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x介于两数之间．
4．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A． 4 B．5 C．6 D． 7
考点： 一元一次不等式组的整数解．
分析： 先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解即可．
解答： 解：∵解不等式2x+1＞0得：x＞﹣，
解不等式x﹣5≤0得：x≤5，
∴不等式组的解集是﹣＜x≤5，
整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选：C．
点评： 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．
5．不等式组的最小整数解是（ ）
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考点： 一元一次不等式组的整数解．
分析： 分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后找出最小整数解．
解答： 解：，
解①得：x≥1，
解②得：x＞2，
则不等式的解集为x＞2，
故不等式的最小整数解为3．
故选：C．
点评： 本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．不等式组的整数解共有（ ）
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A． 1个 B2个 C．3个 D． 4个
考点： 一元一次不等式组的整数解．
分析： 此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．
解答： 解：，
解①得：x≥3，
则不等式组的解集是：3≤x＜5．
则整数解是3和4共2个．
故选：B．
点评： 此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后代入方程即可解出a的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7若不等式组的解是x＞2，则（ ）
A． a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D． a≤2
考点： 不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 根据已知解集，利用不等式组取解集的方法判断即可确定出a的范围．
解答： 解：∵不等式组的解是x＞2，
∴a≤2．
故选D．
点评： 此题考查了不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
专题： 存在型．
分析： 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
解答： 解：，由①得，x≥1，由②得，x＞3，
故此不等式组的解集为：x＞3，
在数轴上表示为：
故选D．
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点评： 本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集及解一元一次不等式，熟知不等式的解集在数轴上表示出来的方法是解答此题的关键，即：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
9．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
专题： 探究型．
分析： 先分别求出各不等式的解集，求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可，
解答： 解：，由①得，x＞﹣1，由②得，x≤1，故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示为：
故选：B．
点评： 本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
二．填空题（共7小题）
10．不等式4x﹣3＜2x+5的解集是 x＜4 ．
考点： 解一元一次不等式．
分析： 移项，合并同类项，系数化成1即可．
解答： 解：4x﹣3＜2x+5，
4x﹣2x＜5+3，
2x＜8，
x＜4，
故答案为：x＜4．
点评： 本题考查了解一元一次不等式的应用，注意：解一元一次不等式和解一元一次方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1，但是不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变．
11．已知关于x的不等式（3﹣a）x＞a﹣3的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是 a＞3 ．
考点： 不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 根据已知解集得到3﹣a为负数，即可确定出a的范围．
解答： 解：∵不等式（3﹣a）x＞a﹣3的解集为x＜﹣1，
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∴3﹣a＜0，
解得：a＞3．
故答案为：a＞3
点评： 此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
12．不等式组的解集是 1≤x＜3 ．
考点： 不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 利用不等式组取解集的方法判断即可得到结果．
解答： 解：不等式组的解集是1≤x＜3．
故答案为：1≤x＜3．
点评： 此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
13．不等式x﹣4≤的解集是 x≥﹣2 ．
考点： 解一元一次不等式．
分析： 按照解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1解出即可．
解答： 解：x﹣4≤
3（x﹣4）≤4x﹣10
3x﹣12≤4x﹣10
3x﹣4x≤﹣10+12
﹣x≤2
x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
点评： 本题考查了解不等式的能力，掌握不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
14．如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x的值为 29或6 ．
考点： 一元一次不等式的应用．
专题： 图表型．
分析： 利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出144，可得方程5x﹣1=144，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．
解答： 解：第一个数就是直接输出其结果的：5x﹣1=144，
解得：x=29，
第二个数是（5x﹣1）×5﹣1=144
解得：x=6；
第三个数是：5[5（5x﹣1）﹣1]﹣1=144，
解得：x=1.4（不合题意舍去），
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第四个数是5{5[5（5x﹣1）﹣1]﹣1}﹣1=144，
解得：x=（不合题意舍去）
∴满足条件所有x的值是29或6．
故答案为：29或6．
点评： 此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．
15．某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对得10分，打错或不答扣3分．若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对 10 道题．
考点： 一元一次不等式的应用．
分析： 可设答对了x道题，则答错或不答的有（20﹣x）道，再根据答对得10分，答错了或不答，则扣3分，总得分不少于70分，所以有10x﹣3（20﹣x）≥70，解之即可．
解答： 解：设至少要答对x道题，总得分才不少于70分，则答错或不答的题目共有（20﹣x），
依题意得：10x﹣3（20﹣x）≥70，
10x﹣60+3x≥70，
13x≥130，
x≥10，
答：至少要答对10道题，总得分才不少于70分．
故答案为：10．
点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解；准确的找到不等关系列不等式是解题的关键．
16．某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最少是 500 元．
考点： 一元一次不等式的应用．
分析： 首先设这种商品的标价是x元，根据题意可得不等关系：售价﹣进价≥利润，根据不等关系列出不等式即可．
解答： 解：设这种商品的标价是x元，由题意得：
x×80%﹣320≥25%×320，
解得：x≥500，
则这种商品的标价最少是500元，
故答案为：500．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．
三．解答题（共8小题）
17．解不等式组：．
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
解答： 解：不等式组可以转化为：
，
在坐标轴上表示为：
14
∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13．
点评： 求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18．求不等式组的解集．
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 要求不等式组的解，只需要求出这两个不等式得解，然后根据不等式的解的公共部分确定不等式组的解．
解答： 解：
由（1）得：，（3分）
由（2）得：x≤1，（3分）
故原不等式组的解集为：﹣＜x≤1．（4分）
点评： 本题考查了解一元一次不等式组，要求学生熟练一元一次不等式组的解集确定的方法．同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．
19．解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析： 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
解答： 解：
∵解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为2＜x＜3，
在数轴上表示为：
．
点评： 本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．
20．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
14
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．
解答： 解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则
，
解得 ．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得
，
解得 2≤a≤3．
∵a是正整数，
∴a=2或a=3．
∴共有两种方案：
方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；
方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．
点评： 本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
21．小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．
考点： 一元一次不等式组的应用．
分析： 设该公司的工作人员为x人．则每盒巧克力的颗数是，根据不等关系：每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗），列不等式组．
解答： 解：设该公司的工作人员为x人．则
，
解得 16＜x≤19．
因为x是整数，
所以x=17，18，19．
答：所有可能的工作人员人数是17人、18人、19人．
点评： 本题考查了一元一次不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
14
22．“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 优选方案问题．
分析： （1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
解答： 解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得
答：设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则（10﹣a）=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
点评： 此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
23．现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 优选方案问题．
分析： （1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．
解答： 解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，
14
依题意，得，
解得．
答：A商品每件20元，B商品每件50元．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件
解得5≤a≤6
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；
方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；
∵350＞320
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．
点评： 此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．
24．为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：
农产品种类 A B C
每辆汽车的装载量（吨） 4 5 6
（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？
（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．等量关系：40辆车都要装运，A、B、C三种农产品共200吨；
（2）关系式为：装运每种农产品的车辆数≥11．
解答： 解：（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
，
解得．
答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；
（2）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
4x+5y+6（40﹣x﹣y）=200，
解得：y=﹣2x+40．
由题意可得如下不等式组：，即，
解得：11≤x≤14.5
因为x是正整数，
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所以x的值可为11，12，13，14共4个值，因而有四种安排方案．
方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C
方案二：12车装运A，16车装运B，12车装运C．
方案三：13车装运A，14车装运B，13车装运C．
方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C．
点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装载的几种方案是解决本题的关键．
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