图形的——三角形1
一．选择题（共9小题）
1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜ B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D．﹣8
3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）
7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（ ）
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A．110 B．125 C．130 D．155
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70° B．80° C．40° D．30°
二．填空题（共8小题）
10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 _________ （只需填一个整数）
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 _________ 度．
12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________ 度．
18
13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是 _________ °．
14．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= _________ ．
15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为 _________ ．
16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件 _________ ，使△ABC≌△DEF．
17．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是 _________ ．（只填一个即可）
三．解答题（共7小题）
18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE．
19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
18
20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
22．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
18
18
图形的——三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（ ）
A． 1＜x＜ B． C． D．
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间．
解答： 解：因为32﹣22=5，32+22=13，所以5＜x2＜13，即．
故选B．
点评： 本题考查了锐角三角形的三边关系定理，有一定的难度．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D． ﹣8
考点： 三角形的面积．
分析： 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．
解答： 解：阴影部分的面积=π×22÷2+π×12÷2﹣4×2÷2=；
故选A．
点评： 此题考查了三角形的面积；解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．
3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A． 1种 B．2种 C．3种 D． 4种
考点： 三角形三边关系．
专题： 常规题型．
分析： 要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．
解答： 解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故选：C．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
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A． CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
考点： 全等三角形的判定．
分析： 本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
解答： 解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A． AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D． EF∥BC
考点： 全等三角形的判定．
分析： 本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
解答： 解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；
（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
点评： 本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
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A． （﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D． （﹣，﹣1）
考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．
解答： 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（﹣，1）．
故选：A．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（ ）
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A． 110 B．125 C．130 D． 155
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．
解答： 解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，
故选C．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A． 3 B．4 C．6 D． 5
考点： 角平分线的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
解答： 解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
18
解得AC=3．
故选：A．
点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A． 70° B．80° C．40° D． 30°
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
解答： 解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．
故选：D．
点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
二．填空题（共8小题）
10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 4 （只需填一个整数）
考点： 三角形三边关系．
专题： 开放型．
分析： 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．
解答： 解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
所以x可取整数4．
故答案为：4．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
18
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 75 度．
考点： 三角形内角和定理；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形三内角之和等于180°求解．
解答： 解：如图．
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．
故答案为：75．
点评： 考查三角形内角之和等于180°．
12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．
考点： 三角形内角和定理；多边形内角与外角．
专题： 几何图形问题．
分析： 分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．
解答： 解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，
∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，
∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，
∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，
∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，
即∠1+∠2=70°．
故答案为：70°．
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点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是 140 °．
考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵∠A=60°，∠B=80°，
∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．
故答案为：140．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
14．（2014•佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= 75° ．
考点： 三角形的外角性质．
分析： 首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
解答： 解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故答案为：75°．
点评： 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为 130° ．
18
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解．
解答： 解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．
故答案为：130°．
点评： 本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上确定出∠C=∠A是解题的关键．
16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件 AC=DF（或∠B=∠DEF或AB∥DE） ，使△ABC≌△DEF．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．
解答： 解：①添加AC=DF．
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
②添加∠B=∠DEF．
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
③添加AB∥DE．
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AC=DF（或∠B=∠DEF或AB∥DE）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．
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17．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是 BD=CE ．（只填一个即可）
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．
解答： 解：BD=CE，
理由是：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：BD=CE．
点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．
三．解答题（共7小题）
18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．
解答： 证明：∵C是AB的中点（已知），
∴AC=CB（线段中点的定义）．
∵CD∥BE（已知），
∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
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点评： 本题主要考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．
解答： AC=DF．
证明：∵BF=EC，
∴BF﹣CF=EC﹣CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF．
点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．
20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．
解答： 证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD=BC．
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点评： 本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．
21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．
解答： 证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明AC=BD．
解答： 证明：在△ADB和△BAC中，
，
∴△ADB≌△BAC（SAS），
∴AC=BD．
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点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
考点： 全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．
解答： （1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
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考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．
（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴AE=CF．
（2）解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．
点评： 本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．
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