函数——二次函数1
一．选择题（共8小题）
1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
21
A． B． C． D．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
8二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
21
9．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 _________ ．
10．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 _________ ．
11．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= _________ ．
12．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是 _________ ．
13．对于二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：
①其图象与x轴一定相交；
②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；
③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；
④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．
其中所有正确的结论是 _________ ．（填写正确结论的序号）
14．设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 _________ ．
15．将抛物线y=（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 _________ ．
16．将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为 _________ ．
三．解答题（共6小题）
17．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．
（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
18．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
21
19．如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y=ax2+bx﹣3经过A、C两点．
（1）求a、b的值；
（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；
（3）设（2）中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．
20．如图，一次函数y=﹣x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
21
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且cot∠OAB=，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求b、c的值；
（2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径长的圆记作圆C，以点A为圆心，r为半径长的圆记作圆A．若圆C与圆A外切，求r的值；
（3）若点D在这个抛物线上，△AOB的面积是△OBD面积的8倍，求点D的坐标．
22．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
21
函数——二次函数1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）
解答： 解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
点评： 函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．
分析： 分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
解答： 解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），
y=位于第一、三象限，没有选项图象符合，
a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），
y=位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选：B．
点评： 本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．
3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
21
A． B．C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
分析： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
解答： 解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；
B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；
正确的只有D．
故选：D．
点评： 此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
4．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
解答： 解：由图可知，m＜﹣1，n=1，
∴m+n＜0，
∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点（0，1），
反比例函数y=的图象位于第二、四象限；
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
21
5．函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解．
解答： 解：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，
a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析： 先根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．
解答： 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
21
∴c＜0，
∴一次函数y=cx+的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=分布在第一、三象限．
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A． 函数有最小值 B． 对称轴是直线x= C． 当x＜，y随x的增大而减小 D． 当﹣1＜x＜2时，y＞0
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；
根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；
根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．
解答： 解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．
8．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 数形结合．
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分析： 先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确．
解答： 解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．
故选：B．
点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
二．填空题（共8小题）
9．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 （1，2） ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解答： 解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评： 此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．
10．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 直线x=2 ．
考点： 二次函数的性质．
分析： 点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．
解答： 解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x==2．
故答案为：直线x=2．
点评： 本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．
21
11 抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= 0 ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 常规题型．
分析： 根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，
∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c=0．
故答案为：0．
点评： 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．
12．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是 （2，5） ．
考点： 二次函数的性质．
分析： 由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
解答： 解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，
∴顶点坐标为：（2，5）．
故答案为：（2，5）．
点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．
13．对于二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：
①其图象与x轴一定相交；
②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；
③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；
④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．
其中所有正确的结论是 ①③④ ．（填写正确结论的序号）
考点： 二次函数的性质．
分析： 令y=0，解方程求出抛物线与x轴的两个交点坐标，从而判断出①④正确，利用抛物线的顶点坐标列式整理，再根据二次函数的增减性判断出②错误；消掉a即可得到顶点所在的直线，判断出③正确．
解答： 解：令y=0，则ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1=0，
解得x1=1，x2=，
所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（，0），故①④正确；
当a＜0时，＞1，
所以，函数在x＞1时，y先随x的增大然后再减小，故②错误；
∵x=﹣=﹣=1﹣，
y===﹣，
∴y=x﹣，
21
即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=x﹣上，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的与x轴的交点，二次函数的增减性，顶点坐标，难点在于利用a表示出顶点的横坐标与纵坐标，然后消掉a得到顶点所在的直线．
14．设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2 ．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
专题： 待定系数法．
分析： 根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．
解答： 解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，
当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，
将A（0，2），B（4，3）代入解析式，
则，
解得，
所以，y=（x﹣1）2+=x2﹣x+2；
当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+k，
将A（0，2），B（4，3）代入解析式，
则，
解得，
所以，y=﹣（x﹣3）2+=﹣x2+x+2，
综上所述，抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．
故答案为：y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．
15．将抛物线y=（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 y═（x﹣2）2+3 ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
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分析： 根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
解答： 解：抛物线y=（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为y=（x﹣3+1）2+1+2=（x﹣2）2+3，
即：y=（x﹣2）2+3．
故答案为：y=（x﹣2）2+3．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
16．将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为 y=2x2+1 ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
解答： 解：∵二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，
∴所得图象对应的函数表达式为：y=2x2﹣1+2=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
点评： 此题主要考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移规律是解题关键．
三．解答题（共6小题）
17．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．
（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论；
（2）由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可．
解答： 解：（1）由题意，得
32﹣×4=80﹣2x．
答：每天的现售价为x元时则每天销售量为（80﹣2x）件；
（2）由题意，得
（x﹣20）（80﹣2x）=150，
解得：x1=25，x2=35．
∵x≤28，
∴x=25．
答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．
点评： 本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键．
18如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
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考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）先求出A、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程x=﹣求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特征求出点B的坐标；
（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根据条件即可得到△CAD∽△ABC，然后运用相似三角形的性质可求出CD的长，由此可得到OD的长，就可解决问题．
解答： 解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；
由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；
把点C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，
解得：k=5，
∴此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，
∴此抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．
令y=0得x2+5x+4=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣4，
∴点B的坐标为（﹣1，0）．
（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，
∴AC==4，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．
∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．
又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．
∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，
∴=，即=，
解得：CD=，
∴OD=CD﹣CO=﹣4=，
∴点D的坐标为（0，﹣）．
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点评： 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的对应关系是解决第（2）小题的关键．
19．如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y=ax2+bx﹣3经过A、C两点．
（1）求a、b的值；
（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；
（3）设（2）中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．
考点： 二次函数综合题；正方形的判定与性质．
专题： 综合题．
分析： （1）只需把点A、C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）可设新抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3+k，然后求出点B的坐标，并把点B的坐标代入新抛物线的解析式，就可解决问题；
（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，易证四边形QECD是正方形，则有QD=DC．设点Q的横坐标为t，从而得到点Q的坐标为（t，3﹣t），代入新抛物线的解析式，求出点Q的坐标，然后运用割补法就可求出四边形ABQP的面积．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、C（3，0），
∴，
解得：；
（2）设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，
则新抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3+k，
∵A（﹣1，0）、C（3，0），
∴CB=AC=3﹣（﹣1）=4，
21
∵∠ACB=90°，∴点B的坐标为（3，4）．
∵点B（3，4）在抛物线y=x2﹣2x﹣3+k上，
∴9﹣6﹣3+k=4，
解得：k=4，
∴新抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；
（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，
则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，
∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，
∴四边形QECD是矩形．
∵QD=QE，
∴矩形QECD是正方形，
∴QD=DC．
设点Q的横坐标为t，
则有OD=t，QD=DC=OC﹣OD=3﹣t，
∴点Q的坐标为（t，3﹣t）．
∵点Q在抛物线y=x2﹣2x+1上，
∴t2﹣2t+1=3﹣t，
解得：t1=2，t2=﹣1．
∵Q为抛物线y=x2﹣2x+1上P点至B点之间的一点，
∴t=2，点Q的坐标为（2，1），
∴OD=2，QD=CD=1．
由y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2得顶点P的坐标为（1，0），
∴OP=1，PD=OD﹣OP=2﹣1=1，
∴S四边形ABQP=S△ACB﹣S△PDQ﹣S梯形DQBC
=AC•BC﹣PD•QD﹣（QD+BC）•DC
=×4×4﹣×1×1﹣×（1+4）×1
=5，
∴四边形ABQP的面积为5．
点评： 本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、正方形的判定与性质、解一元二次方程等知识，运用割补法是解决第（3）小题的关键．
20．如图，一次函数y=﹣x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
21
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；
（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
解答： 解：（1）∵y=﹣+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2，
（2）如图1，设MN交x轴于点E，
则E（t，0），BE=4﹣t．
∵tan∠ABO===，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．
21
又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2，
∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t
∴当t=2时，MN有最大值4，
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，
如图2所示．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2
从而D为（0，6）或D（0，﹣2），
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
易得D1N的方程为y=﹣x+6，D2M的方程为y=x﹣2，
由两方程联立解得D为（4，4）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）
点评： 本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时一定要细心．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且cot∠OAB=，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求b、c的值；
（2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径长的圆记作圆C，以点A为圆心，r为半径长的圆记作圆A．若圆C与圆A外切，求r的值；
（3）若点D在这个抛物线上，△AOB的面积是△OBD面积的8倍，求点D的坐标．
21
考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据点A的坐标求出OA，再求出OB，然后写出点B的坐标，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再求出CB，再利用两点间的距离公式求出AC，然后根据两圆外切的定义列式求解即可得到r；
（3）先求出△AOB的面积，再求出△OBD的面积，然后求出点D到OB的距离，再根据抛物线解析式求解即可．
解答： 解：（1）∵A（8，0），
∴OA=8，
∵cot∠OAB==，
∴OB=6，
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为（0，6），
∴，
解得；
（2）由（1）得抛物线解析式为y=﹣x2+x+6，
∵CB⊥OB，点B（0，6），
∴点C的坐标为（5，6），
∴CB=5，
∴AC==3，
∵圆C与圆A外切，
∴CB+r=AC，
∴r=3﹣5；
（3）∵OA=8，OB=6，
∴S△AOB=OA•OB=×8×6=24，
∵△AOB的面积是△OBD面积的8倍，
∴S△OBD=×24=3，
∵点D在这个抛物线上，
∴可设点D的坐标为（x，﹣x2+x+6），
∴S△OBD=×|x|×OB=3，
∴x=±1，
当x=1时，﹣x2+x+6=﹣×12+×1+6=7，
当x=﹣1时，﹣x2+x+6=﹣×（﹣1）2+×（﹣1）+6=，
21
所以，点D的坐标为（1，7）或（﹣1，）．
点评： 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，圆与圆的位置关系，三角形的面积，综合题但难度不大，要注意（3）有两种情况．
22．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
专题： 代数综合题．
分析： （1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；
（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；
（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．
解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a=，b=﹣，c=﹣1，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；
解得x1=2，x2=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
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点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握．
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