函数——反比例函数1
一．选择题（共8小题）
1．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（ ）
20
A． B． C． D．
6．反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
7．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
8．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
二．填空题（共8小题）
9如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是 _________ ．
10双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为 _________ ．
11．若函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是 _________ （写出一个即可）．
12．下列关于反比例函数y=的三个结论：
①它的图象经过点（7，3）；
②它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；
③它的图象在二、四象限内．
其中正确的是 _________ ．
13．如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为 _________ ．
20
14．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为 _________ ．
15．如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为 _________ ．
16．如图，反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为 _________ ．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
20
18．已知反比例函数y=的图象经过点M（2，1）
（1）求该函数的表达式；
（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．
（1）k的值为 _________ ；
（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．
20．已知反比函数y=，当x=2时，y=3．
（1）求m的值；
（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．
21如图，反比例函数y=（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．
22．如图，函数y=的图象过点A（1，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．
20
23如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数（x＞0）的图象相交于点B（2，1）．
（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出：当x＞0时，不等式的解集．
24已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
25．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
20
函数——反比例函数1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． BC． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
解答： 解：当k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；
当k＜0时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限，故B错误，D正确；
故选：D．
点评： 考查反比例函数和一次函数图象的性质：
（1）反比例函数y=：当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；
（2）一次函数y=kx+b：当k＞0，图象必过第一、三象限，当k＜0，图象必过第二、四象限．当b＞0，图象与y轴交于正半轴，当b=0，图象经过原点，当b＜0，图象与y轴交于负半轴．
2．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
解答： 解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y=的图象可知m＞0，故A选项正确；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y=的图象可知m＞0，相矛盾，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故D选项错误；
20
故选：A．
点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
3．在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 先根据一次函数图象与系数的关系得到k的范围，然后根据k的范围判断反比例函数图象的位置．
解答： 解：A、对于y=kx+1经过第一、三象限，则k＞0，﹣k＜0，所以反比例函数图象应该分布在第二、四象限，所以A选项错误；
B、一次函数y=kx+1与y轴的交点在x轴上方，所以B选项错误；
C、对于y=kx+1经过第二、四象限，则k＜0，﹣k＞0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以C选项错误；
D、对于y=kx+1经过第二、四象限，则k＜0，﹣k＞0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以D选项正确．
故选：D．
点评： 本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=（k≠0）为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
4．反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 根据反比例函数所在的象限判定k的符号，然后根据k的符号判定一次函数图象所经过的象限．
解答： 解：A、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示不符，故本选项错误；
B、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；
C、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；
D、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示一致，故本选项正确；
故选：D．
点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
20
5．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．
分析： 根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数y=kx和反比例函数y=图象所在的象限．
解答： 解：如图所示，∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．
∴正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，
反比例函数y=的图象经过第二、四象限．
综上所述，符合条件的图象是C选项．
故选：C．
点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D． m＜﹣1
考点： 反比例函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数的性质得m+1＜0，然后解不等式即可．
解答： 解：根据题意得m+1＜0，
解得m＜﹣1．
故选：D．
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点评： 本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
7．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A． k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D． k＜1
考点： 反比例函数的性质．
专题： 常规题型．
分析： 根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
解答： 解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选：A．
点评： 本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
8．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（ ）
A． 图象经过点（1，1） B． 两个分支分布在第二、四象限
C． 两个分支关于x轴成轴对称 D． 当x＜0时，y随x的增大而减小
考点： 反比例函数的性质．
专题： 常规题型．
分析： 根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
解答： 解：A、把点（1，1）代入反比例函数y=得2≠1不成立，故A选项错误；
B、∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误；
C、图象的两个分支关于y=﹣x对称，故C选项错误．
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：D．
点评： 本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
二．填空题（共8小题）
9．如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是 3 ．
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考点： 反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象的对称性．
专题： 计算题；数形结合．
分析： 由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数k的几何意义可得：△ABM的面积为△AOM面积的2倍，S△ABM=2S△AOM=|k|．
解答： 解：由题意得：S△ABM=2S△AOM=3，S△AOM=|k|=，则k=3．
故答案为：3．
点评： 主要考查了反比例函数中k的几何意义及反比例函数的对称性，体现了数形结合的思想．
10．双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为 3（答案不唯一） ．
考点： 反比例函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 首先根据反比例函数的性质可得k+1＞0，再解不等式即可．
解答： 解：∵双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴k+1＞0，
解得：k＞﹣1，
∴k可以等于3（答案不唯一）．
故答案为：3（答案不唯一）．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
11．若函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是 0 （写出一个即可）．
考点： 反比例函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据反比例函数图象的性质得到m﹣1＜0，通过解该不等式可以求得m的取值范围，据此可以取一个m值．
解答： 解：∵函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，
∴m﹣1＜0，
解得 m＜1．
故m可以取0，﹣1，﹣2等值．
故答案为：0．
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点评： 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
12．下列关于反比例函数y=的三个结论：
①它的图象经过点（7，3）；
②它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；
③它的图象在二、四象限内．
其中正确的是 ①② ．
考点： 反比例函数的性质．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特点可得①正确；
根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得②正确，③错误．
解答： 解：①∵7×3=21，
∴它的图象经过点（7，3），故①正确；
②∵k=21＞0，
∴它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，故②正确；
③它的图象应在第一三象限，故③错误；
故答案为：①②．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标特征：横纵坐标之积=k．
13．如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为 2 ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 代数几何综合题．
分析： 由于AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOB=3，S△COB=1，然后利用S△AOC=S△AOB﹣S△COB进行计算．
解答： 解：∵AB⊥x轴，
∴S△AOB=×|6|=3，S△COB=×|2|=1，
∴S△AOC=S△AOB﹣S△COB=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
20
14．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为 8 ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质得出S△ODE=S△OBC=k，S△AOB=k+5，=，进而求出即可．
解答： 解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，
∵△ODE的面积和△OBC的面积相等=，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积=5+，
∵AD：OD=1：2，
∴OD：OA=2：3，
∵DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴=（）2，
即=，
解得：k=8．
点评： 本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
15．如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为 4 ．
20
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．
解答： 解：∵MA垂直y轴，
∴S△AOM=|k|，
∴|k|=2，即|k|=4，
而k＞0，
∴k=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16．如图，反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为 y= ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 数形结合．
分析： 根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．
解答： 解：设点A坐标（x，），
∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，
∴D（x，），
∴过点D的反比例函数的解析式为y=，
故答案为：y=．
20
点评： 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义．
专题： 计算题．
分析： （1）由于PQ∥x轴，则点P的纵坐标为2，然后把y=2代入y=得到对应的自变量的值，从而得到P点坐标；
（2）由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|6|=8，然后解方程得到满足条件的k的值．
解答： 解：（1）∵PQ∥x轴，
∴点P的纵坐标为2，
把y=2代入y=得x=3，
∴P点坐标为（3，2）；
（2）∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，
∴|k|+×|6|=8，
∴|k|=10，
而k＜0，
∴k=﹣10．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数系数k的几何意义．
18．已知反比例函数y=的图象经过点M（2，1）
（1）求该函数的表达式；
（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．
专题： 待定系数法．
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分析： （1）利用待定系数法把（2，1）代入反比例函数y=中可得k的值，进而得到解析式；
（2）根据y=可得x=，再根据条件2＜x＜4可得2＜＜4，再解不等式即可．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点M（2，1），
∴k=2×1=2，
∴该函数的表达式为y=；
（2）∵y=，
∴x=，
∵2＜x＜4，
∴2＜＜4，
解得：＜y＜1．
点评： 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，关键是正确确定函数解析式．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．
（1）k的值为 9 ；
（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值；
（2）根据三角形的面积公式和点D，E在函数的图象上，可得出S△OCD=S△OAE，再由点D为BC的中点，可得出S△OCD=S△OBD，即可得出结论．
解答： 解：∵OA=6，OC=3，点D为BC的中点，
∴D（3，3）．
∴k=3×3=9，
故答案为9；
（2）S△OCD=S△OBE，
理由是：∵点D，E在函数的图象上，
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∴S△OCD=S△OAE=，
∵点D为BC的中点，
∴S△OCD=S△OBD，
即S△OBE=，
∴S△OCD=S△OBE．
点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的特征以及矩形的性质，是一道综合题，难度中等．
20．已知反比函数y=，当x=2时，y=3．
（1）求m的值；
（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．
专题： 代数综合题．
分析： （1）把x、y的值代入反比例函数解析式，通过方程来求m的值；
（2）根据反比例函数图象的性质进行解答．
解答： 解：（1）把x=2时，y=3代入y=，得
3=，
解得：m=﹣1；
（2）由m=﹣1知，该反比例函数的解析式为：y=．
当x=3时，y=2；
当x=6时，y=1．
∴当3≤x≤6时，由于y随x的增大而减小，所以函数值y的取值范围是：1≤y≤2．
点评： 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．（1）题，实际上是把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程．
21．如图，反比例函数y=（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．
专题： 数形结合；待定系数法．
分析： （1）利用待定系数法把A（1，3）代入反比例函数y=可得k的值，进而得到解析式；
20
（2）根据△AOB的面积为6求出B点坐标，再设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两点代入可得k、b的值，进而得到答案．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3），
∴3=，
解得：k=3，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）设B（a，0），则BO=a，
∵△AOB的面积为6，
∴•a•3=6，
解得：a=4，
∴B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵经过A（1，3），B（4，0），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4．
点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，关键是正确求出B点坐标．
22．如图，函数y=的图象过点A（1，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
分析： （1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；
（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．
解答： 解：（1）∵函数y=的图象过点A（1，2），
∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，
得2=，解得：k=2，
20
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）∵点A是反比例函数上一点，
∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），
∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|=|k|=2，
∴矩形的面积为定值．
点评： 本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y=中k的几何意义，注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数（x＞0）的图象相交于点B（2，1）．
（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出：当x＞0时，不等式的解集．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题；数形结合．
分析： （1）将B的坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，将A和B的坐标分别代入一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解集得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）由B的横坐标为2，将x轴正半轴分为两部分，找出一次函数在反比例函数图象上方时x的范围，即为所求不等式的解集．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B（2，1），
∴将B坐标代入反比例解析式得：m=1×2=2，
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0）、B（2，1）两点，
∴将A和B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=x﹣1；
（2）由图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＞的解集为x＞2．
点评： 此题考查了一次函数与反比例函数的交点，以及待定系数法的运用，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题第二问的关键．
24．已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
20
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 代数几何综合题．
分析： （1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
解答： 解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，得k=1×4，1+b=4，
解得k=4，b=3，
∴反比例函数的解析式是y=，一次函数解析式是y=x+3；
（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
当x=﹣4时，y=﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），
当x=0时，y=+3，
∴C（0，3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC==；
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
25．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
20
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合；待定系数法．
分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．
解答： 解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，
反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴，解得m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2），
解得，或，
∴B（，﹣4）
由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．
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