图形的性质——相交线与平行线1
一．选择题（共9小题）
1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE
4．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．如图，∠A0B的两边0A，0B均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线0B上有一点P，从P点射出一束光线经0A上的Q点反射后，反射光线QR恰好与0B平行，则∠QPB的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
6．将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．120°
9．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF=50°，则∠B的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．50°
二．填空题（共8小题）
10．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE= _________ 度．
11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，则∠2= _________ 度．
12．已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 _________ ．
13．如图，直线a、b被直线c所截，若满足 _________ ，则a、b平行．
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14．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= _________ 度．
15．如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2= _________ ．
16．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=35°，则∠2的度数为 _________ ．
17．如图，若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD= _________ 度．
三．解答题（共8小题）
18．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
19．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．
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20．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．
21．如图，AB∥CD，∠A=75°，∠C=30°，求∠E的度数．
22．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
23．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
24．如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．
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25如图，直线AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，则∠E等于 _________ °．
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图形的性质——相交线与平行线1
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A． 35° B．45° C55° D． 65°
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．
解答： 解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C．
点评： 本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A． B． C． D．
考点： 垂线．
分析： 根据题意画出图形即可．
解答： 解：根据题意可得图形，
故选：C．
点评： 此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
3．如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A． ∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D． ∠A=∠ABE
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考点： 平行线的判定．
分析： 在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
解答： 解：A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；
B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；
C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；
D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．
故选：D．
点评： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A． 15° B．30° C．45° D． 60°
考点： 平行线的判定．
专题： 几何图形问题．
分析： 先根据邻补角的定义得到∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
解答： 解：∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
故选：A．
点评： 本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
5．如图，∠A0B的两边0A，0B均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线0B上有一点P，从P点射出一束光线经0A上的Q点反射后，反射光线QR恰好与0B平行，则∠QPB的度数是（ ）
A． 60° B．80° C．100° D． 120°
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考点： 平行线的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可．
解答： 解：∵QR∥OB，∴∠AQR=∠AOB=40°，∠PQR+∠QPB=180°；
∵∠AQR=∠PQO，∠AQR+∠PQO+∠RQP=180°（平角定义），
∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°，
∴∠QPB=180°﹣100°=80°．
故选：B．
点评： 本题结合反射现象，考查了平行线的性质和平角的定义，是一道好题．
6．将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（ ）
A． 4个 B．3个 C．2个 D． 1个
考点： 平行线的性质；余角和补角．
专题： 几何图形问题．
分析： 由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可．
解答： 解：∵斜边与这根直尺平行，
∴∠α=∠2，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠α=90°，
又∠α+∠3=90°
∴与α互余的角为∠1和∠3．
故选：C．
点评： 此题考查的是对平行线的性质的理解，目的是找出与∠α和为90°的角．
7．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A． 15° B．20° C．25° D． 30°
考点： 平行线的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
解答： 解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°﹣20°=25°．
故选：C．
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点评： 本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（ ）
A． 30° B．60° C．80° D． 120°
考点： 平行线的性质；角平分线的性质．
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠EAD=∠B，再根据角平分线的定义求出∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵AD∥BC，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=2×30°=60°，
∴∠C=∠EAC﹣∠B=60°﹣30°=30°．
故选：A．
点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF=50°，则∠B的度数为（ ）
A． 80° B．40° C．60° D． 50°
考点： 平行线的性质．
分析： 根据角平分线的定义可得∠FCM=∠ACF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠FCM．
解答： 解：∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠FCM=∠ACF=50°，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCM=50°．
故选：D．
点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
10．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE= 20° 度．
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考点： 对顶角、邻补角；角平分线的定义．
分析： 由∠AOC=40°，根据对顶角相等求出∠DOB=40°，再根据角平分线定义求出∠DOE即可．
解答： 解：∵∠AOC=40°，
∴∠DOB=∠AOC=40°，
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE=∠BOD=20°，
故答案为：20°．
点评： 本题考查了对顶角的性质角、角平分线定义的应用，关键是求出∠BOD的度数．
11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，则∠2= 50 度．
考点： 对顶角、邻补角．
分析： 根据对顶角相等即可求解．
解答： 解：∵∠2与∠1是对顶角，
∴∠2=∠1=50°．
故答案为：50．
点评： 本题考查了对顶角的识别与对顶角的性质，牢固掌握对顶角相等的性质是解题的关键．
12．已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 平行 ．
考点： 平行线的判定；垂线．
分析： 根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得答案．
解答： 解：∵a⊥b，c⊥b，
∴a∥c，
故答案为：平行．
点评： 此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
13．如图，直线a、b被直线c所截，若满足 ∠1=∠2或∠2=∠3或∠3+∠4=180° ，则a、b平行．
考点： 平行线的判定．
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专题： 开放型．
分析： 根据同位角或内错角相等以及同旁内角互补，两直线平行可得a∥b．
解答： 解：∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等两直线平行），
同理可得：∠2=∠3或∠3+∠4=180°时，a∥b，
故答案为：∠1=∠2或∠2=∠3或∠3+∠4=180°．
点评： 此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
14．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 80 度．
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可．
解答： 解：∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠C=∠1=45°，
∵∠2=35°，
∴∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，
故答案为：80．
点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠3=∠2+∠C．
15．如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2= 31° ．
考点： 平行线的性质．
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根据角平分线的定义可得∠2=∠EFD．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠1=62°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠2=∠EFD=×62°=31°．
故答案为：31°．
点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
16．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=35°，则∠2的度数为 55° ．
16
考点： 平行线的性质；余角和补角．
分析： 先根据三角板的直角顶点在直线b上求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解答： 解：∵三角板的直角顶点在直线b上，∠1=35°，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠4=90°﹣∠3=55°，
∴∠2=∠3=55°．
故答案为：55°．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
17．如图，若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD= 60 度．
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 延长AC交BE于F，根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠1．
解答： 解：如图，延长AC交BE于F，
∵∠ACB=90°，∠CBE=30°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∵AD∥BE，
∴∠CAD=∠1=60°．
故答案为：60．
点评： 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
18．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
16
考点： 平行线的性质．
分析： 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
解答： 解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
19．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．
考点： 平行线的性质．
分析： 根据垂直定义和邻补角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．
解答： 解：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=55°，
∴∠3=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
点评： 本题考查了垂直定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．
20．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．
16
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C=∠FEC，又由∠C=∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．
解答： 证明：∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C=∠FEC，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠FEC，
∴BD∥CE．
点评： 此题考查了平行线的判定与性质．注意内错角相等，两直线平行与同位角相等，两直线平行．
21．如图，AB∥CD，∠A=75°，∠C=30°，求∠E的度数．
考点： 平行线的性质．
分析： 由AB∥CD，∠A=75°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠E的度数．
解答： 解：∵AB∥CD，∠A=75°，
∴∠1=∠A=75°，
∵∠C=30°，
∴∠E=∠1﹣∠C=75°﹣30°=45°．
点评： 此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
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考点： 平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．
专题： 证明题．
分析： （1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
解答： （1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE，
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°，
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
点评： 此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
23．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
考点： 平行线的性质．
专题： 应用题．
分析： 过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．
解答： 解：过点B作直线BE∥CD．
∵CD∥AF，
∴BE∥CD∥AF．
∴∠A=∠ABE=105°．
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE+∠C=180°．
∴∠C=150°．
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点评： 此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．
24如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．要证明AM∥BC，只要转化为证明∠C=∠DAM即可．
解答： 证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠DAM，
∴∠C=∠DAM，
∴AM∥BC．
点评： 本题主要考查了平行线的判定，注意等量代换的应用．
25． 如图，直线AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，则∠E等于 25 °．
考点： 平行线的性质．
专题： 探究型．
分析： 先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再由三角形外角的性质得出结论即可．
解答： 解：∵直线AB∥CD，∠A=100°，
∴∠EFD=∠A=100°，
∵∠EFD是△CEF的外角，
∴∠E=∠EFD﹣∠C=100°﹣75°=25°．
故答案为：25．
点评： 本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等．
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