图形的性质——相交线与平行线2
一．选择题（共8小题）
1如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．40° C．30° D．25°
2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（ ）
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A．56° B．48° C．46° D．40°
7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）
A．45° B．54° C．40° D．50°
8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（ ）
A．16° B．33° C．49° D．66°
二．填空题（共6小题）
9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2= _________ 度．
10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= _________ ．
11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是 _________ ．
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12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2= _________ ．
13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF= _________ ．
14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2= _________ ．
三．解答题（共9小题）
15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．
求证：∠CDG=∠B．
16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．
17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．
17
18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．
19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．
20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．
21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．
22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．
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23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．
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图形的性质——相交线与平行线2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（ ）
A． 20° B．40° C．30° D． 25°
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解答： 解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，
∵a∥b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．
故选：A．
点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（ ）
A． 30° B．35° C．36° D． 40°
考点： 平行线的性质．
分析： 过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解．
解答： 解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
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∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°，
∴∠1+∠2=30°．
故选：A．
点评： 本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A． 30° B．45° C．50° D． 60°
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠3=60°，所以∠2=60°．
解答： 解：∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣30°=60°，
∴∠2=60°．
故选：D．
点评： 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（ ）
A． 30° B．60° C．120° D． 150°
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠3，再由邻补角性质得到∠3与∠2互补，即∠1与∠2互补，即可确定出∠1的度数．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=120°，∠3+∠2=180°，
∴∠3=60°．
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故选B
点评： 此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ）
A． 10° B．15° C．20° D． 25°
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据AB∥CD可得∠3=∠1=65，然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=65°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．
故选：D．
点评： 本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简单的题目．
6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（ ）
A． 56° B．48° C．46° D． 40°
考点： 平行线的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据垂直的定义可得∠GFE=90°，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=42°，
∵FG⊥FE，
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∴∠GFE=90°，
∴∠2=180°﹣90°﹣42°=48°．
故选：B．
点评： 本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）
A． 45° B．54° C．40° D． 50°
考点： 平行线的性质；三角形内角和定理．
分析： 根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．
解答： 解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°．
故选：C．
点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（ ）
A． 16° B．33° C．49° D． 66°
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 由AB∥CD，∠C=33°可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠BED的度数．
解答： 解：∵AB∥CD，∠C=33°，
∴∠ABC=∠C=33°，
∵BC平分∠ABE，
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∴∠ABE=2∠ABC=66°，
∵AB∥CD，
∴∠BED=∠ABE=66°．
故选D．
点评： 此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等．
二．填空题（共6小题）
9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2= 42 度．
考点： 平行线的性质；垂线．
专题： 计算题．
分析： 根据垂线的性质和平行线的性质进行解答．
解答： 解：如图，∵AB⊥BC，∠1=48°，
∴∠3=90°﹣48°=42°．
又∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=42°．
故答案为：42．
点评： 本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”的性质．
10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= 55° ．
考点： 平行线的性质．
专题： 常规题型．
分析： 根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
解答： 解：如图，∵∠1=35°，
∴∠3=180°﹣35°﹣90°=55°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=55°．
故答案为：55°．
17
点评： 本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是 63° ．
考点： 平行线的性质．
分析： 先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．
解答： 解：如图，
∵∠BFD=∠E+∠D，
而∠D=27°，∠E=36°，
∴∠BFD=36°+27°=63°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BFD=63°．
故答案为：63°．
点评： 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2= 40° ．
考点： 平行线的性质；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．
解答： 解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=85°，
∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，
∴∠2=∠4=40°．
故答案为：40°．
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点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF= 70° ．
考点： 平行线的性质．
分析： 由“两直线平行，内错角相等”、结合图形解题．
解答： 解：如图，∵AB∥CD∥EF，
∴∠B=∠1，∠F=∠2．
又∠B=40°，∠F=30°，
∴∠BCF=∠1+∠2=70°．
故答案是：70°．
点评： 本题考查了平行线的性质．平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2= 36° ．
考点： 平行线的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 过B作BE∥直线a，推出直线a∥b∥BE，根据平行线的性质得出∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，即可求出答案．
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解答： 解：
过B作BE∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥BE，
∴∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，
∵∠ABC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠2=∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°．
点评： 本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较好，难度适中．
三．解答题（共9小题）
15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．
求证：∠CDG=∠B．
考点： 平行线的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据两直线平行，同位角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行DG∥AB，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
解答： 证明：∵AD∥EF，（已知），
∴∠2=∠3，（两直线平行，同位角相等），
∵∠1+∠FEA=180°，∠2+∠FEA=180°，
∴∠1=∠2（同角的补角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CDG=∠B．（两直线平行，同位角相等）．
点评： 本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，熟记平行线的性质与判定方法并准确识图是解题的关键．
16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．
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考点： 平行线的判定与性质．
分析： 若证∠BDC+∠DGF=180°，则可证GF、CD两直线平行，利用图形结合已知条件能证明．
解答： 解：∵∠1=∠ACB，
∴DE∥BC，（2分）
∴∠2=∠DCF，（4分）
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠DCF，（6分）
∴CD∥FG，（8分）
∴∠BDC+∠DGF=180°．（10分）
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．
考点： 平行线的判定与性质；角平分线的定义．
专题： 证明题．
分析： 根据BE∥CF，得∠1=∠2，根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明AB∥CD．
解答： 证明：∵BE∥CF，
∴∠1=∠2．
∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，
即∠ABC=∠BCD，
∴AB∥CD．
点评： 此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．
18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．
考点： 平行线的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 易证AB∥DE，根据同旁内角互补和等量代换，即可解答．
解答： 证明：∵∠CDE=∠C，
∴AC∥DE，
∴∠A+∠ADE=180°，
∵AD∥BE，
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∴∠E+∠ADE=180°，
∴∠A=∠E．
点评： 本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．
考点： 对顶角、邻补角；角平分线的定义．
分析： 根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，然后解答即可．
解答： 解：∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∴∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE=90°．
点评： 本题考查了角平分线的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．
考点： 垂线；角平分线的定义．
分析： 根据角平分线的性质，可得∠BOE与∠AOB的关系，∠FOB与∠COB的关系，根据角的和差，可得答案．
解答： 解：OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，
∠BOE=∠AOB，∠BOF=∠BOC，
∵∠EOF=（∠AOB+∠BOC）=68°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=136°．
点评： 本题考查了垂线，利用了角平分线的性质．
21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．
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考点： 垂线；角平分线的定义．
分析： 首先根据垂直定义以及角平分线的性质得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE的度数．
解答： 解：∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°，
∵∠BOE=16°，
∴∠COB=90°+16°=106°，
∵OD为∠BOC的平分线，
∴∠BOD=53°，
∴∠DOE=53°﹣16°=37°．
点评： 此题主要考查了角平分线的性质以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．
22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 作CM∥AB，DN∥EF，根据平行线的性质得∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，则∠2=∠BCD﹣∠1=25°，∠3=∠CDE﹣∠4=25°，即∠2=∠3，根据平行线的判定得到CM∥DN，然后利用平行线的传递性得到AB∥EF．
解答： 解：作CM∥AB，DN∥EF，如图，
∴∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，
∴∠2=∠BCD﹣∠1=45°﹣25°=25°，
∠3=∠CDE﹣∠4=30°﹣10°=25°，
∴∠2=∠3，
∴CM∥DN，
∴AB∥EF．
点评： 本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行．也考查了平行线的性质，熟记定义是解题的关键．
23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．
17
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 延长ED交BC于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CFD=∠CDE﹣∠C，再根据邻补角的定义表示出∠BFD，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．
解答： 解：如图，延长ED交BC于F，
由三角形的外角性质得，∠CFD=∠CDE﹣∠C，
所以，∠BFD=180°﹣∠CFD=180°﹣（∠CDE﹣∠C），
∵∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，
∴∠ABC=180°﹣（CDE﹣∠C），
∴∠ABC=∠BFD，
∴AB∥DE．
点评： 本题考查了平行线的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，邻补角的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
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