图形的性质——四边形2
一．选择题（共9小题）
1．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
5．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
22
A．4 B． C． D．5
7．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
8．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（ ）
A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9
9．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（ ）
A．点F B．点E C．点A D．点C
二．填空题（共7小题）
10．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为 _________ ．
11．若菱形的周长为20cm，则它的边长是 _________ cm．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 _________ ．
22
13．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为 _________ ．
14．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于 _________ ．
15．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 _________ ．
16如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 _________ ．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
22
18．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB．给出以下结论：①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD=MN．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：AF∥CE．
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
22
24．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
22
图形的性质——四边形2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（ ）
A． B． C． D． 2
考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
分析： 由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等（DE=CF，且DE∥CF），即四边形CFDE是平行四边形．如图，过点C作CH⊥AD于点H．利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4，DH=3，则在直角△EHC中利用勾股定理求得CE的长度，即DF的长度．
解答： 证明：如图，在▱ABCD中，∠B=∠ADC，AB=CD=5，AD∥BC，且AD=BC=8．
∵E是AD的中点，
∴DE=AD．
又∵CF：BC=1：2，
∴DE=CF，且DE∥CF，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∴CE=DF．
过点C作CH⊥AD于点H．
又∵sinB=，
∴sin∠CDH===，
∴CH=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得到：DH==3，则EH=4﹣3=1，
∴在Rt△CEH中，由勾股定理得到：EC===，
则DF=EC=．
故选：C．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
22
A． 28° B．52° C．62° D． 72°
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： 根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°﹣28°=62°．
故选：C．
点评： 本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（ ）
A． 10 B．8 C．6 D． 5
考点： 菱形的性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
由勾股定理得：AB===5，
即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5．
故选：D．
22
点评： 本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）
A． 3.5 B．4 C．7 D． 14
考点： 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
分析： 根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．
解答： 解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH=AB=×7=3.5．
故选：A．
点评： 本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
5．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A． 3 B．4 C．1 D． 2
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先连接BD，易证得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．
解答： 解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
22
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正确；
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确．
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：A．
点评： 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
A． 4 B． C． D． 5
考点： 菱形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
解答： 解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
22
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0==4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24，
∴BC•AE=24，
AE=，
故选：C．
点评： 此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
7．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）
A． △ABD与△ABC的周长相等
B． △ABD与△ABC的面积相等
C． 菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D． 菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
考点： 菱形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．
解答： 解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∵AC＜BD，
∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；
B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，
∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；
D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；
故选：B．
点评： 此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．
22
8．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（ ）
A． 4：3 B．3：2 C．14：9 D． 17：9
考点： 菱形的性质；平移的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 首先得出△MEC∽△DAC，则=，进而得出=，即可得出答案．
解答： 解：∵ME∥AD，
∴△MEC∽△DAC，
∴=，
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，
∴AE=1cm，EC=3cm，
∴=，
∴=，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：=．
故选：C．
点评： 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．
9．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（ ）
A． 点F B．点E C．点A D． 点C
考点： 菱形的性质；规律型：图形的变化类．
专题： 规律型．
分析： 观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用2014除以8，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．
解答： 解：∵两个菱形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵2014÷8=251余6，
∴移动2014cm为第252个循环组的第6cm，在点F处．
故选：A．
点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．
22
二．填空题（共7小题）
10．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为 ．
考点： 菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
解答： 解：∵DE=1，DC=3，
∴EC=3﹣1=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴=，
∴=，
∴DF=，
故答案为：．
点评： 本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的对边互相平行．
11．若菱形的周长为20cm，则它的边长是 5 cm．
考点： 菱形的性质．
分析： 由菱形ABCD的周长为20cm，根据菱形的四条边都相等，即可求得其边长．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴边长为：20÷4=5（cm）．
故答案为：5．
点评： 此题考查了菱形的性质，注意掌握菱形四条边都相等定理的应用是解此题的关键，比较容易解答．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （5，4） ．
22
考点： 菱形的性质；坐标与图形性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
解答： 解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
点评： 此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
13．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为 50° ．
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 延长AD、EF相交于点H，根据线段中点定义可得CF=DF，根据两直线平行，内错角相等可得∠H=∠CEF，然后利用“角角边”证明△CEF和△DHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FH，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF=FH，根据等边对等角可得∠DGF=∠H，根据菱形的性质求出∠C=∠A，CE=CF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CEF，从而得解．
解答： 解：如图，延长AD、EF相交于点H，
∵F是CD的中点，
∴CF=DF，
∵菱形对边AD∥BC，
∴∠H=∠CEF，
在△CEF和△DHF中，
，
∴△CEF≌△DHF（AAS），
∴EF=FH，
∵EG⊥AD，
∴GF=FH，
∴∠DGF=∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=80°，
∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
22
∴CE=CF，
在△CEF中，∠CEF=（180°﹣80°）=50°，
∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°．
故答案为：50°．
点评： 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
14．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于 2 ．
考点： 菱形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
专题： 代数几何综合题．
分析： 根据非负数的性质列式求出a、b，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0，
解得a=1，b=4，
∵菱形的两条对角线的长为a和b，
∴菱形的面积=×1×4=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了非负数的性质，菱形的性质，主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半，需熟记．
15．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 ．
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 动点型．
分析： 延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．
22
解答：
解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t=
故答案为：．
点评： 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ﹣1 ．
考点： 菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
解答： 解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
22
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FM=DM×cos30°=，
∴MC==，
∴A′C=MC﹣MA′=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．
解答： 证明：如图，连接BD设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE=DF，OA﹣AE=OC﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
18．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
22
考点： 平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．
专题： 证明题．
分析： 利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OECF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．
解答： 证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，且OE=BC．
又∵CF=BC，
∴OE=CF．
又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB．给出以下结论：①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 欲证明∠1=∠2，只需证得四边形EDFB是平行四边形或△ABF≌△CDE即可．
解答： 解：方法一：
补充条件①BE∥DF．
证明：如图，∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
∴∠BEA=∠DFC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
22
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴ED∥BF，
∴∠1=∠2；
方法二：
补充条件③AE=CF．
证明：∵AE=CF，∴AF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
解答： （1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
22
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE==2，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD=MN．
考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；
（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．
解答： 证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四边形；
（2）如图：连接ND，
22
∵MNCD是平行四边形，
∴MN=DC．
∵N是BC的中点，
∴BN=CN，
∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NCD是等边三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，
∴∠BDC=90°．
∵tan，
∴DB=DC=MN．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：AF∥CE．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵∠1=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
22
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ABE≌△CDF是解题关键．
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
考点： 菱形的判定；矩形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．
解答： 证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
在△AEG和△FBG中，
，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE和△BAF中
∵，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，
∴EG=GF，
∴四边形EGFH是菱形．
点评： 考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
24．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
22
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）利用AAS判定两三角形全等即可；
（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠B=∠1，
又∵DE∥AC
∴∠2=∠E，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE；
（2）∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴ACED为平行四边形，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
由AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
又∵∠B=∠ADC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD，
∴四边形ACED为菱形．
点评： 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．
22
微信/支付宝扫码支付