图形的性质——圆1
一.选择题(共8小题)
1.如图,正方形ABCD的边AB=1,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影两部分的面积之差是( )
A. B.1﹣ C.﹣1 D.1﹣
2.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( )
A.cm B.cm C.cm或cm D.cm或cm
3.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是( )
A.4 B. C. D.
5.已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为( )
A.3 B.3 C. D.
6.如图,半径为3的⊙O内有一点A,OA=,点P在⊙O上,当∠OPA最大时,PA的长等于( )
23
A. B. C.3 D.2
7.在△ABC中,AB=AC=5,sinB=,⊙O过点B、C两点,且⊙O半径r=,则OA的长为( )
A.3或5 B.5 C.4或5 D.4
8.如图,B,C,D是半径为6的⊙O上的三点,已知的长为2π,且OD∥BC,则BD的长为( )
A.3 B.6 C.6 D.12
二.填空题(共7小题)
9.如图,⊙O的半径是5,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,若CD=8,则△ACD的面积是 _________ .
10.正六边形的中心角等于 _________ 度.
11.如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E,连结OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE= _________ .
12.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 _________ .
23
13.如图,在⊙O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC,若AB=2cm,∠BCD=22°30′,则⊙O的半径为 _________ cm.
14.如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是 _________ .
15.⊙O的半径为2,弦BC=2,点A是⊙O上一点,且AB=AC,直线AO与BC交于点D,则AD的长为 _________ .
三.解答题(共8小题)
16.一个弓形桥洞截面示意图如图所示,圆心为O,弦AB是水底线,OC⊥AB,AB=24m,sin∠COB=,DE是水位线,DE∥AB.
(1)当水位线DE=4m时,求此时的水深;
(2)若水位线以一定的速度下降,当水深8m时,求此时∠ACD的余切值.
23
17.如图,已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,与边AC交于点E,过点D作DF⊥AC于F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若DE=,AB=,求AE的长.
18.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.
(1)若CD=16,BE=4,求⊙O的直径;
(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.
19.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
20.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,PB与CD交于点F,∠PBC=∠C.
(1)求证:CB∥PD;
(2)若∠PBC=22.5°,⊙O的半径R=2,求劣弧AC的长度.
23
21.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.
22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.
(1)求证:AD=CD;
(2)若AB=10,cos∠ABC=,求tan∠DBC的值.
23.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∠APB=60°,连接AO,BO.
(1)所对的圆心角∠AOB= _________ ;
(2)求证:PA=PB;
(3)若OA=3,求阴影部分的面积.
23
图形的性质——圆1
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.如图,正方形ABCD的边AB=1,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影两部分的面积之差是( )
A. B.1﹣ C.﹣1 D. 1﹣
考点: 扇形面积的计算.
分析: 图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积,1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积,因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差,即﹣1=.
解答: 解:如图:
正方形的面积=S1+S2+S3+S4;①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2;②
②﹣①,得:S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=.
故选:A.
点评: 本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键.
2.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( )
A. cm B.cm C.cm或cm D. cm或cm
考点: 垂径定理;勾股定理.
专题: 分类讨论.
分析: 先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
解答: 解:连接AC,AO,
∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM===3cm,
23
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC===4cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5﹣3=2cm,
在Rt△AMC中,AC===2cm.
故选:C.
点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
3.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
考点: 垂径定理;勾股定理.
专题: 计算题.
分析: 根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.
解答: 解:∵CE=2,DE=8,
∴OB=5,
∴OE=3,
∵AB⊥CD,
∴在△OBE中,得BE=4,
∴AB=2BE=8.
故选:D.
点评: 本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.
4.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是( )
23
A. 4 B. C. D.
考点: 垂径定理;一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理.
专题: 计算题;压轴题.
分析: PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则△OCD为等腰直角三角形,△PED也为等腰直角三角形.由PE⊥AB,根据垂径定理得AE=BE=AB=2,在Rt△PBE中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+.
解答: 解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,
∵⊙P的圆心坐标是(3,a),
∴OC=3,PC=a,
把x=3代入y=x得y=3,
∴D点坐标为(3,3),
∴CD=3,
∴△OCD为等腰直角三角形,
∴△PED也为等腰直角三角形,
∵PE⊥AB,
∴AE=BE=AB=×4=2,
在Rt△PBE中,PB=3,
∴PE=,
∴PD=PE=,
∴a=3+.
故选:B.
点评: 本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.
5.已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为( )
A. 3 B.3 C. D.
23
考点: 垂径定理;等边三角形的性质.
专题: 几何图形问题.
分析: 先求出正三角形的外接圆的半径,再求出正三角形的边长,最后求其面积即可.
解答: 解:如图所示,
连接OB、OC,过O作OD⊥BC于D,
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形,
∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,
∴BD=OB•sin∠BOD==,
∴BC=2BD=,
∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=,
∴△BOC的面积=•BC•OD=××=,
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=.
故选:C.
点评: 本题考查的是三角形的外接圆与外心,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
6.如图,半径为3的⊙O内有一点A,OA=,点P在⊙O上,当∠OPA最大时,PA的长等于( )
A. B. C3 D. 2
考点: 垂径定理;圆周角定理.
分析: 当PA⊥OA时,PA取最小值,∠OPA取得最大值,然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可.
解答: 解:∵OA、OP是定值,
∴在△OPA中,当∠OPA取最大值时,PA取最小值,
∴PA⊥OA时,PA取最小值;
在直角三角形OPA中,OA=,OP=3,
∴PA==.
故选B.
点评: 本题考查了解直角三角形.解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时,PA取最小值”即“PA⊥OA时,∠OPA取最大值”这一隐含条件.
23
7.在△ABC中,AB=AC=5,sinB=,⊙O过点B、C两点,且⊙O半径r=,则OA的长为( )
A. 3或5 B.5 C.4或5 D. 4
考点: 垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理;解直角三角形.
专题: 分类讨论.
分析: 作AD⊥BC于D,由于AB=AC=5,根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC,根据垂径定理的推论得到点O在直线AD上,连结OB,在Rt△ABD中,根据正弦的定义计算出AD=4,根据勾股定理计算出BD=3,再在Rt△OBD中,根据勾股定理计算出OD=1,然后分类讨论:①当点A与点O在BC的两侧,有OA=AD+OD;②当点A与点O在BC的同侧,有OA=AD﹣OD,即求得OA的长.
解答: 解:如图,作AD⊥BC于D,
∵AB=AC=5,
∴AD垂直平分BC,
∴点O在直线AD上,
连结OB,
在Rt△ABD中,sinB==,
∵AB=5,
∴AD=4,
∴BD==3,
在Rt△OBD中,OB=,BD=3,
∴OD==1,
当点A与点O在BC的两侧时,OA=AD+OD=4+1=5;
当点A与点O在BC的同侧时,OA=AD﹣OD=4﹣1=3,
故OA的长为3或5.
故选:A.
点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.
8.如图,B,C,D是半径为6的⊙O上的三点,已知的长为2π,且OD∥BC,则BD的长为( )
23
A. 3 B.6 C.6 D. 12
考点: 垂径定理;等边三角形的判定与性质;圆周角定理;弧长的计算;解直角三角形.
专题: 计算题.
分析: 连结OC交BD于E,设∠BOC=n°,根据弧长公式可计算出n=60,即∠BOC=60°,易得△OBC为等边三角形,根据等边三角形的性质得∠C=60°,∠OBC=60°,BC=OB=6,由于BC∥OD,则∠2=∠C=60°,再根据圆周角定理得∠1=∠2=30°,即BD平分∠OBC,根据等边三角形的性质得到BD⊥OC,接着根据垂径定理得BE=DE,在Rt△CBE中,利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3,CE=CE=3,所以BD=2BE=6.
解答: 解:连结OC交BD于E,如图,
设∠BOC=n°,
根据题意得2π=,得n=60,即∠BOC=60°,
而OB=OC,
∴△OBC为等边三角形,
∴∠C=60°,∠OBC=60°,BC=OB=6,
∵BC∥OD,
∴∠2=∠C=60°,
∵∠1=∠2(圆周角定理),
∴∠1=30°,
∴BD平分∠OBC,BD⊥OC,
∴BE=DE,
在Rt△CBE中,CE=BC=3,
∴BE=CE=3,
∴BD=2BE=6.
故选:C.
点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理.
二.填空题(共7小题)
9.如图,⊙O的半径是5,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,若CD=8,则△ACD的面积是 32 .
考点: 垂径定理;勾股定理.
23
分析: 连接OD,先根据垂径定理得出PD=CD=4,再根据勾股定理求出OP的长,根据三角形的面积公式即可得出结论.
解答: 解:连接OD,
∵⊙O的半径是5,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,CD=8,
∴PD=CD=4,
∴OP===3,
∴AP=OA+OP=5+3=8,
∴S△ACD=CD•AP=×8×8=32.
故答案为:32.
点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
10.正六边形的中心角等于 60 度.
考点: 正多边形和圆.
分析: 根据正六边形的六条边都相等即可得出结论.
解答: 解:∵正六边形的六条边都相等,
∴正六边形的中心角==60°.
故答案为:60.
点评: 本题考查的是正多边形和圆,熟知正多边形的性质是解答此题的关键.
11.(2014•扬州)如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E,连结OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE= 50° .
考点: 圆的认识;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆周角定理.
专题: 几何图形问题.
分析: 如图,连接BE.由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°,再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题.
解答: 解:如图,连接BE.
∵BC为⊙O的直径,
∴∠CEB=∠AEB=90°,
23
∵∠A=65°,
∴∠ABE=25°,
∴∠DOE=2∠ABE=50°,(圆周角定理)
故答案为:50°.
点评: 本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识,难度不大.
12.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 .
考点: 垂径定理;轴对称的性质.
分析: A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的最小,即BC的值就是PA+PC的最小值
解答: 解:连接OA,OB,OC,作CH垂直于AB于H.
根据垂径定理,得到BE=AB=4,CF=CD=3,
∴OE===3,
OF===4,
∴CH=OE+OF=3+4=7,
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7,
则PA+PC的最小值为.
故答案为:
点评: 正确理解BC的长是PA+PC的最小值,是解决本题的关键.
13.如图,在⊙O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC,若AB=2cm,∠BCD=22°30′,则⊙O的半径为 2 cm.
23
考点: 垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理.
专题: 计算题.
分析: 先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°,再根据垂径定理得到BE=AB=,且△BOE为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求解.
解答: 解:连结OB,如图,
∵∠BCD=22°30′,
∴∠BOD=2∠BCD=45°,
∵AB⊥CD,
∴BE=AE=AB=×2=,△BOE为等腰直角三角形,
∴OB=BE=2(cm).
故答案为:2.
点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理.
14.如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是 4 .
考点: 垂径定理;圆周角定理.
专题: 压轴题.
分析: 过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°,则△OAB为等腰直角三角形,所以AB=OA=2,由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB
23
,而当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,即M点运动到D点,N点运动到E点,所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB(CD+CE)=AB•DE=×2×4=4.
解答: 解:过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图,
∵∠AMB=45°,
∴∠AOB=2∠AMB=90°,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=OA=2,
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,
∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,
即M点运动到D点,N点运动到E点,
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB(CD+CE)=AB•DE=×2×4=4.
故答案为:4.
点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理.
15.⊙O的半径为2,弦BC=2,点A是⊙O上一点,且AB=AC,直线AO与BC交于点D,则AD的长为 1或3 .
考点: 垂径定理;勾股定理.
专题: 分类讨论.
分析: 根据题意画出图形,连接OB,由垂径定理可知BD=BC,在Rt△OBD中,根据勾股定理求出OD的长,进而可得出结论.
解答: 解:如图所示:
∵⊙O的半径为2,弦BC=2,点A是⊙O上一点,且AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴BD=BC=,
在Rt△OBD中,
∵BD2+OD2=OB2,即()2+OD2=22,解得OD=1,
∴当如图1所示时,AD=OA﹣OD=2﹣1=1;
当如图2所示时,AD=OA+OD=2+1=3.
故答案为:1或3.
点评: 本题考查的是垂径定理,在解答此题时要进行分类讨论,不要漏解.
23
三.解答题(共8小题)
16.一个弓形桥洞截面示意图如图所示,圆心为O,弦AB是水底线,OC⊥AB,AB=24m,sin∠COB=,DE是水位线,DE∥AB.
(1)当水位线DE=4m时,求此时的水深;
(2)若水位线以一定的速度下降,当水深8m时,求此时∠ACD的余切值.
考点: 垂径定理的应用;勾股定理.
分析: (1)延长CO交DE于点F,连接OD,根据垂径定理求出BC的长,由sin∠COB=得出OB的长,根据DE∥AB可知∠ACD=∠CDE,∠DFO=∠BCO=90°.由OF过圆心可得出DF的长,再根据勾股定理求出OF的长,进而可得出CF的长;
(2)若水位线以一定的速度下降,当水深8m时,即CF=8m,则OF=CF﹣OC=3m,连接CD,在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的长,由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出结论.
解答: 解:(1)延长CO交DE于点F,连接OD
∵OC⊥AB,OC过圆心,AB=24m,
∴BC=AB=12m.
在Rt△BCO中,sin∠COB==,
∴OB=13mCO=5m.
∵DE∥AB,
∴∠ACD=∠CDE,∠DFO=∠BCO=90°.
又∵OF过圆心,
∴DF=DE=×4=2m.
在Rt△DFO中,OF===7m,
∴CF=CO+OF=12m,即当水位线DE=4m时,此时的水深为12m;
(2)若水位线以一定的速度下降,当水深8m时,即CF=8m,则OF=CF﹣OC=3m,
连接CD,在Rt△ODF中,DF===4m.
在Rt△CDF中,cot∠CDF==.
∵DE∥AB,
∴∠ACD=∠CDE,
∴cot∠ACD=cot∠CDF=.
23
答:若水位线以一定的速度下降,当水深8m时,此时∠ACD的余切值为.
点评: 本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
17.如图,已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,与边AC交于点E,过点D作DF⊥AC于F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若DE=,AB=,求AE的长.
考点: 切线的判定;勾股定理.
专题: 计算题;证明题.
分析: (1)连接AD,OD,则∠ADB=90°,AD⊥BC;又因为AB=AC,所以BD=DC,OA=OB,OD∥AC,易证DF⊥OD,故DF为⊙O的切线;
(2)连接BE交OD于G,由于AC=AB,AD⊥BCED⊥BD,故∠EAD=∠BAD,=,ED=BD,OE=OB;
故OD垂直平分EB,EG=BG,因为AO=BO,所以OG=AE,在Rt△DGB和Rt△OGB中,BD2﹣DG2=BO2﹣OG2,代入数值即可求出AE的值.
解答: (1)证明:连接AD,OD;
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即AD⊥BC;
∵AB=AC,
∴BD=DC.
∵OA=OB,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD.
∴∠ODF=∠DFA=90°,
∴DF为⊙O的切线.
(2)解:连接BE交OD于G;
23
∵AC=AB,AD⊥BC,ED=BD,
∴∠EAD=∠BAD.
∴.
∴ED=BD,OE=OB.
∴OD垂直平分EB.
∴EG=BG.
又AO=BO,
∴OG=AE.
在Rt△DGB和Rt△OGB中,
BD2﹣DG2=BO2﹣OG2
∴()2﹣(﹣OG)2=BO2﹣OG2
解得:OG=.
∴AE=2OG=.
点评: 本题比较复杂,涉及到切线的判定定理及勾股定理,等腰三角形的性质,具有很强的综合性.
18.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.
(1)若CD=16,BE=4,求⊙O的直径;
(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.
考点: 垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
专题: 几何综合题.
分析: (1)先根据CD=16,BE=4,得出OE的长,进而得出OB的长,进而得出结论;
(2)由∠M=∠D,∠DOB=2∠D,结合直角三角形可以求得结果;
解答: 解:(1)∵AB⊥CD,CD=16,
∴CE=DE=8,
设OB=x,
又∵BE=4,
∴x2=(x﹣4)2+82,
解得:x=10,
23
∴⊙O的直径是20.
(2)∵∠M=∠BOD,∠M=∠D,
∴∠D=∠BOD,
∵AB⊥CD,
∴∠D=30°.
点评: 本题考查了圆的综合题:在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角为直角;垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧;
19.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
考点: 垂径定理;勾股定理.
专题: 几何图形问题.
分析: 过点O作OE⊥AB于点E,连接OB,由垂径定理可知AE=BE=AB,再根据勾股定理求出OE的长,由此可得出结论.
解答: 解:过点O作OE⊥AB于点E,连接OB,
∵AB=8cm,
∴AE=BE=AB=×8=4cm,
∵⊙O的直径为10cm,
∴OB=×10=5cm,
∴OE===3cm,
∵垂线段最短,半径最长,
∴3cm≤OP≤5cm.
点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
20.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,PB与CD交于点F,∠PBC=∠C.
(1)求证:CB∥PD;
(2)若∠PBC=22.5°,⊙O的半径R=2,求劣弧AC的长度.
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考点: 垂径定理;圆周角定理;弧长的计算.
专题: 几何图形问题.
分析: (1)先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D,再由等量代换得出∠C=∠D,然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD;
(2)先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°,再根据邻补角定义求出∠AOC=135°,然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度.
解答: 解:(1)∵∠PBC=∠D,∠PBC=∠C,
∴∠C=∠D,
∴CB∥PD;
(2)连结OC,OD.
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴=,
∵∠PBC=∠C=22.5°,
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°,
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°,
∴劣弧AC的长为:=.
点评: 本题考查了圆周角定理,平行线的判定,垂径定理,弧长的计算,难度适中.(2)中求出∠AOC=135°是解题的关键.
21.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.
考点: 圆周角定理;平行线的性质;三角形中位线定理.
23
专题: 几何图形问题.
分析: (1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°,则∠CAB的度数即可求得,在等腰△AOD中,根据等边对等角求得∠DAO的度数,则∠CAD即可求得;
(2)易证OE是△ABC的中位线,利用中位线定理求得OE的长,则DE即可求得.
解答: 解:(1)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵OD∥BC,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°,∠AOD=∠B=70°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;
(2)在直角△ABC中,BC===.
∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
又∵OA=OB,
∴OE=BC=.
又∵OD=AB=2,
∴DE=OD﹣OE=2﹣.
点评: 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理,正确证明OE是△ABC的中位线是关键.
22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.
(1)求证:AD=CD;
(2)若AB=10,cos∠ABC=,求tan∠DBC的值.
考点: 圆周角定理;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;解直角三角形.
专题: 几何综合题.
分析: (1)由AB为直径,OD∥BC,易得OD⊥AC,然后由垂径定理证得,=,继而证得结论;
(2)由AB=10,cos∠ABC=,可求得OE的长,继而求得DE,AE的长,则可求得tan∠DAE,然后由圆周角定理,证得∠DBC=∠DAE,则可求得答案.
解答: (1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OD∥BC,
23
∴∠AEO=∠ACB=90°,
∴OD⊥AC,
∴=,
∴AD=CD;
(2)解:∵AB=10,
∴OA=OD=AB=5,
∵OD∥BC,
∴∠AOE=∠ABC,
在Rt△AEO中,
OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3,
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2,
∴AE===4,
在Rt△AED中, tan∠DAE===,
∵∠DBC=∠DAE,
∴tan∠DBC=.
点评: 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
23.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∠APB=60°,连接AO,BO.
(1)所对的圆心角∠AOB= 120° ;
(2)求证:PA=PB;
(3)若OA=3,求阴影部分的面积.
考点: 切线的性质;扇形面积的计算.
专题: 几何综合题.
分析: (1)根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形内角和定理求解;
(2)证明直角△OAP≌直角△OBP,根据全等三角形的对应边相等,即可证得;
(3)首先求得△OPA的面积,即求得四边形OAPB的面积,然后求得扇形OAB的面积,即可求得阴影部分的面积.
解答: (1)解:∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°;
(2)证明:连接OP.
在Rt△OAP和Rt△OBP中,
,
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∴Rt△OAP≌Rt△OBP,
∴PA=PB;
(3)解:∵Rt△OAP≌Rt△OBP,
∴∠OPA=∠OPB=∠APB=30°,
在Rt△OAP中,OA=3,
∴AP=3,
∴S△OPA=×3×3=,
∴S阴影=2×﹣=9﹣3π.
点评: 本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
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