图形的性质——圆1
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
2．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A．3 B．3 C． D．
6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
23
A． B． C．3 D．2
7．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（ ）
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
8．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．12
二．填空题（共7小题）
9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 _________ ．
10．正六边形的中心角等于 _________ 度．
11．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= _________ ．
12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 _________ ．
23
13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 _________ cm．
14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 _________ ．
15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 _________ ．
三．解答题（共8小题）
16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．
（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．
23
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DE=，AB=，求AE的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
23
21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．
（1）所对的圆心角∠AOB= _________ ；
（2）求证：PA=PB；
（3）若OA=3，求阴影部分的面积．
23
图形的性质——圆1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D． 1﹣
考点： 扇形面积的计算．
分析： 图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．
解答： 解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．
故选：A．
点评： 本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
2．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A． cm B．cm C．cm或cm D． cm或cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答： 解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
23
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
解答： 解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
点评： 本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
23
A． 4 B． C． D．
考点： 垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
专题： 计算题；压轴题．
分析： PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．
解答： 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选：B．
点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A． 3 B．3 C． D．
23
考点： 垂径定理；等边三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
解答： 解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，
∴BD=OB•sin∠BOD==，
∴BC=2BD=，
∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，
∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．
故选：C．
点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C3 D． 2
考点： 垂径定理；圆周角定理．
分析： 当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
解答： 解：∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，
∴PA==．
故选B．
点评： 本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，PA取最小值”即“PA⊥OA时，∠OPA取最大值”这一隐含条件．
23
7．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（ ）
A． 3或5 B．5 C．4或5 D． 4
考点： 垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形．
专题： 分类讨论．
分析： 作AD⊥BC于D，由于AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，根据正弦的定义计算出AD=4，根据勾股定理计算出BD=3，再在Rt△OBD中，根据勾股定理计算出OD=1，然后分类讨论：①当点A与点O在BC的两侧，有OA=AD+OD；②当点A与点O在BC的同侧，有OA=AD﹣OD，即求得OA的长．
解答： 解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在直线AD上，
连结OB，
在Rt△ABD中，sinB==，
∵AB=5，
∴AD=4，
∴BD==3，
在Rt△OBD中，OB=，BD=3，
∴OD==1，
当点A与点O在BC的两侧时，OA=AD+OD=4+1=5；
当点A与点O在BC的同侧时，OA=AD﹣OD=4﹣1=3，
故OA的长为3或5．
故选：A．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
8．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（ ）
23
A． 3 B．6 C．6 D． 12
考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 连结OC交BD于E，设∠BOC=n°，根据弧长公式可计算出n=60，即∠BOC=60°，易得△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，由于BC∥OD，则∠2=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠1=∠2=30°，即BD平分∠OBC，根据等边三角形的性质得到BD⊥OC，接着根据垂径定理得BE=DE，在Rt△CBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3，CE=CE=3，所以BD=2BE=6．
解答： 解：连结OC交BD于E，如图，
设∠BOC=n°，
根据题意得2π=，得n=60，即∠BOC=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，
∵BC∥OD，
∴∠2=∠C=60°，
∵∠1=∠2（圆周角定理），
∴∠1=30°，
∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，
∴BE=DE，
在Rt△CBE中，CE=BC=3，
∴BE=CE=3，
∴BD=2BE=6．
故选：C．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．
二．填空题（共7小题）
9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 32 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
23
分析： 连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：连接OD，
∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，
∴PD=CD=4，
∴OP===3，
∴AP=OA+OP=5+3=8，
∴S△ACD=CD•AP=×8×8=32．
故答案为：32．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．正六边形的中心角等于 60 度．
考点： 正多边形和圆．
分析： 根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．
解答： 解：∵正六边形的六条边都相等，
∴正六边形的中心角==60°．
故答案为：60．
点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．
11．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= 50° ．
考点： 圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
解答： 解：如图，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=∠AEB=90°，
23
∵∠A=65°，
∴∠ABE=25°，
∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理）
故答案为：50°．
点评： 本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．
12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
考点： 垂径定理；轴对称的性质．
分析： A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解答： 解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE===3，
OF===4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：
点评： 正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 2 cm．
23
考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解答： 解：连结OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB=BE=2（cm）．
故答案为：2．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 4 ．
考点： 垂径定理；圆周角定理．
专题： 压轴题．
分析： 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB
23
，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．
解答： 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 1或3 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD=BC，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出OD的长，进而可得出结论．
解答： 解：如图所示：
∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为：1或3．
点评： 本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
23
三．解答题（共8小题）
16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．
（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： （1）延长CO交DE于点F，连接OD，根据垂径定理求出BC的长，由sin∠COB=得出OB的长，根据DE∥AB可知∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．由OF过圆心可得出DF的长，再根据勾股定理求出OF的长，进而可得出CF的长；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的长，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出结论．
解答： 解：（1）延长CO交DE于点F，连接OD
∵OC⊥AB，OC过圆心，AB=24m，
∴BC=AB=12m．
在Rt△BCO中，sin∠COB==，
∴OB=13mCO=5m．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．
又∵OF过圆心，
∴DF=DE=×4=2m．
在Rt△DFO中，OF===7m，
∴CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4m时，此时的水深为12m；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，
连接CD，在Rt△ODF中，DF===4m．
在Rt△CDF中，cot∠CDF==．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，
∴cot∠ACD=cot∠CDF=．
23
答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时∠ACD的余切值为．
点评： 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DE=，AB=，求AE的长．
考点： 切线的判定；勾股定理．
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）连接AD，OD，则∠ADB=90°，AD⊥BC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；
（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，故∠EAD=∠BAD，=，ED=BD，OE=OB；
故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG=AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2，代入数值即可求出AE的值．
解答： （1）证明：连接AD，OD；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC；
∵AB=AC，
∴BD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴∠ODF=∠DFA=90°，
∴DF为⊙O的切线．
（2）解：连接BE交OD于G；
23
∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，
∴∠EAD=∠BAD．
∴．
∴ED=BD，OE=OB．
∴OD垂直平分EB．
∴EG=BG．
又AO=BO，
∴OG=AE．
在Rt△DGB和Rt△OGB中，
BD2﹣DG2=BO2﹣OG2
∴（）2﹣（﹣OG）2=BO2﹣OG2
解得：OG=．
∴AE=2OG=．
点评： 本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解答： 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
23
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．
点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．
解答： 解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE=AB=×8=4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OB=×10=5cm，
∴OE===3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
23
考点： 垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；
（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．
解答： 解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴=，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为：=．
点评： 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．
21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
考点： 圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
23
专题： 几何图形问题．
分析： （1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解答： 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
点评： 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
考点： 圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；
（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．
解答： （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
23
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴=，
∴AD=CD；
（2）解：∵AB=10，
∴OA=OD=AB=5，
∵OD∥BC，
∴∠AOE=∠ABC，
在Rt△AEO中，
OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，
∴AE===4，
在Rt△AED中， tan∠DAE===，
∵∠DBC=∠DAE，
∴tan∠DBC=．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．
（1）所对的圆心角∠AOB= 120° ；
（2）求证：PA=PB；
（3）若OA=3，求阴影部分的面积．
考点： 切线的性质；扇形面积的计算．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解；
（2）证明直角△OAP≌直角△OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（3）首先求得△OPA的面积，即求得四边形OAPB的面积，然后求得扇形OAB的面积，即可求得阴影部分的面积．
解答： （1）解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°；
（2）证明：连接OP．
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
23
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB；
（3）解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴∠OPA=∠OPB=∠APB=30°，
在Rt△OAP中，OA=3，
∴AP=3，
∴S△OPA=×3×3=，
∴S阴影=2×﹣=9﹣3π．
点评： 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
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