图形的性质——圆2
一．选择题（共9小题）
1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（ ）
A．26° B．116° C．128° D．154°
6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（ ）
23
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（ ）
A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB
二．填空题（共8小题）
10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为 _________ ．
11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB= _________ ．
23
12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于 _________ ．
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B= _________ 度．
14如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为 _________ ．
15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B= _________ 度．
16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC= _________ ．
23
17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= _________ 度．
三．解答题（共8小题）
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．
19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．
20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．
21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
23
22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD= _________ °，理由是 _________ ；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．
25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．
23
23
图形的性质——圆2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A． 3 B．4 C． D． 5
考点： 圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．
解答： 解：连接AC，
∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∵点P是上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故选：A．
点评： 此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A． 160° B．150° C．140° D． 120°
考点： 圆周角定理；垂径定理．
专题： 压轴题．
23
分析： 利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解答： 解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
点评： 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A． 40° B．45° C．50° D． 55°
考点： 圆周角定理；平行线的性质．
分析： 连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
解答： 解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选：D．
点评： 此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．C． D．
23
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
解答： 解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选：B．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（ ）
A． 26° B．116° C．128° D． 154°
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理直接解答即可．
解答： 解：∵∠A=64°，
∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．
故选：C．
点评： 本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．
6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（ ）
A． 15° B．20° C．25° D． 30°
考点： 圆周角定理；垂径定理．
专题： 计算题．
分析： 由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：=，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．
解答： 解：∵在⊙O中，OD⊥BC，
∴=，
∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°．
故选：D．
点评： 此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
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A． 35° B．45° C．55° D． 65°
考点： 圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．
解答： 解：∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=35°，
∴∠B=90°﹣∠A=55°．
故选：C．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（ ）
A． 30° B．40° C．50° D． 80°
考点： 圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
解答： 解：∵OA=OB，∠OBA=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，
∴∠C=∠AOB=40°．
故选：B．
点评： 此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（ ）
A． ∠ACD B．∠ADB C．∠AED D． ∠ACB
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考点： 圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．
解答： 解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，
∴∠ABD=∠ACD，故A选项正确；
B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说=，
∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误；
C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误；
D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说=，
∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误；
故选：A．
点评： 本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
二．填空题（共8小题）
10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为 70° ．
考点： 圆周角定理．
分析： 由△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠OBA的度数，∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数．
解答： 解：∵∠OAB=20°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=20°，
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=140°，
∴∠ACB=∠AOB=70°．
故答案为70°．
点评： 本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB= 30° ．
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考点： 圆周角定理．
分析： 由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB的度数．
解答： 解：如图，∵∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°．
故答案是：30°．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于 36° ．
考点： 圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．
解答： 解：∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．
故答案为：36°．
点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B= 50 度．
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
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分析： 直接根据圆周角定理求解．
解答： 解：∠B=∠AOC=×100°=50°．
故答案为：50．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为 65° ．
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
解答： 解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠B=25°
∴∠ACD=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
故答案为：65°．
点评： 考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．
15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B= 40 度．
考点： 圆周角定理；平行线的性质．
分析： 先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．
解答： 解：∵∠BOD=130°，
∴∠AOD=50°，
又∵AC∥OD，
∴∠A=∠AOD=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠B=90°﹣50°=40°．
故答案为：40．
点评： 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的内容是解题关键．
23
16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC= ．
考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
分析： 根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．
解答： 解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==12，
∴tan∠ADC=tanB===，
故答案为．
点评： 本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想．
17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 40 度．
考点： 切线的性质；圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．
解答： 解：连接OD，
∵CD与圆O相切，
∴OD⊥DC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=25°，
∵∠COD为△AOD的外角，
∴∠COD=50°，
∴∠C=90°﹣50°=40°．
故答案为：40
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点评： 此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
三．解答题（共8小题）
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．
考点： 切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分别求出⊙O的面积和四边形ABCD的面积，即可求出答案．
解答： （1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥DC，
∴DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DFC=90°，
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDF；
（2）解：∵CF：FB=1：2，
∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，
∵AE=3EB，
∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，
∵△ADE∽△CDF，
∴=，
∴=，
∵x、y均为正数，
∴x=2y，
∴BC=6y，CF=2y，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
23
由勾股定理得：DF===2y，
∴⊙O的面积为π•（DC）2=π•DC2=π（4y）2=4πy2，
四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y2，
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．
考点： 切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．
解答： （1）证明：如图，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO，
又∵∠BAC=∠ACO，
∴∠BCD=∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°
23
∴△ACB∽△CDB；
（2）解：如图，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴S△OCB=，S扇形OCB==π，
故阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．
点评： 本题主要考查了切线的性质及扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．
20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE，再由AE=AC﹣CE可得AE的值．
解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
23
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；
（2）解：∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2，
∴OC==3，
∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴=，即=，
∴CE=．
∴AE=AC﹣CE=2﹣=．
点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
解答： （1）证明：连结OC，OA，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，
23
∵∠AOC=2∠PBC，
∴2∠ACO+2∠PBC=180°，
∴∠ACO+∠PBC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCA=∠PBC；
（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
∴=，
∴PC2=PA•PB，
∵PA=3，PB=5，
∴PC==．
点评： 本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；
（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．
解答： （1）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD和Rt△CDB（HL）；
（2）解：∵BE是切线，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∵∠DBE=37°，
∴∠ABD=53°，
23
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，
∴∠ADC的度数为37°．
点评： 本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
考点： 切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）由AD⊥PD，AB为⊙O的直径，易证得CE平分∠ACB，继而可得∴∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；
（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．
解答： 解：（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
23
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．
（3）连接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴=，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，．
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴．
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴（4k）2+72=（3k+7）2，
∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．
点评： 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24． 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD= 90 °，理由是 圆的切线垂直于经过切点的半径 ；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．
23
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据切线的性质定理，即可解答；
（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答： 解：（1）∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD=90°；
故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；
（2）连接BC．
∵BD∥AC，
∴∠CBD=∠OCD=90°，
∴在直角△ABC中，
BC===2，
∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠ABC，
∴∠A+∠BCO=90°，
又∵∠OCD=90°，
即∠BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
又∵∠CBD=∠ACB，
∴△ABC∽△CDB，
∴=，
∴=，
解得：CD=3．
点评： 本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键．
25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．
23
考点： 切线的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 先求出∠COD，根据切线的性质知∠OCD=90°，从而求出∠D，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，即可求出答案．
解答： 解：∵∠A=30°，OC=OA，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=30°，
∵OD=30cm，
∴OC=OD=15cm，
∴AB=2OC=30cm．
点评： 本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适中．
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