图形的变化——图形的对称1
一．选择题（共9小题）
1．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7
2．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
6．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
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7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
8．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
9．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
10．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 _________ ．
11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为 _________ ．
12．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 _________ ．
13．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为 _________ ．
14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= _________ ．
15．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 _________ 种．
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16．如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
17．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
18．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
19．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
20．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
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21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．
22．准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．
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图形的变化——图形的对称1
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）
A． 4.5 B．5.5 C．6.5 D． 7
考点： 轴对称的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．
解答： 解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM=MQ，PN=NR，
∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，
∴RN=3cm，MQ=2.5cm，
即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．
故选：A．
点评： 此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．
2．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）
A． 第一象限 B第二象限 C．第三象限 D． 第四象限
考点： 轴对称的性质．
分析： 根据轴对称的性质作出选择．
解答： 解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．
故选：A．
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点评： 本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．
3．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A． 1 B．2 C3 D． 4
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形及对称轴的定义求解．
解答： 解：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；
故选：C．
点评： 本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
4下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 轴对称图形．
分析： 利用关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
解答： 解：圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形．
故选：C．
点评： 此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
5．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． （1，﹣2） B．（﹣1，2） C（﹣1，﹣2） D． （1，2）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解答： 解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），
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故选：D．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． （﹣2，5） B（2，5） C．（﹣2，﹣5） D． （2，﹣5）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵点P（2，﹣5）关于x轴对称，
∴对称点的坐标为：（2，5）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． （3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D． （﹣2，﹣3）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解答： 解：∵点A（2，3），
∴点A关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
8已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A． ﹣1 B．1 C．2 D． 3
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于x轴对称点的坐标的特点，可以得到点A的坐标与点B的坐标的关系．
解答： 解：∵A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，
∴a=2014，b=﹣2013
∴a+b=1，
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
9．（将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A． B C． D．
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考点： 剪纸问题．
分析： 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
解答： 解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．
故选：B．
点评： 本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
二．填空题（共7小题）
10．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 2 ．
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
解答： 解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为：2．
点评： 本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
15
11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 让点P的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到点P关于x轴的对称点P′的坐标．
解答： 解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′，
∴点P′的横坐标不变，为﹣2；纵坐标为﹣3，
∴点P关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，用到的知识点为：两点关于x轴对称，横纵坐标不变，纵坐标互为相反数．
12．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 （2，﹣3） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．
解答： 解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
点评： 此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．
13．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
专题： 常规题型．
分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
解答： 解：点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= 0 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
解答： 解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m+n=0，
故答案为：0．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15
15．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 3 种．
考点： 利用轴对称设计图案．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．
解答： 解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，
故涂法有3种，
故答案为：3．
点评： 考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称轴，进一步确定可以涂黑的正方形．
16如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是 5 ．
考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
解答： 解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
15
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5．
点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
三．解答题（共6小题）
17．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
考点： 作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析： 根据关于y轴对称点的性质得出A，B，C关于y轴对称点的坐标，进而得出答案．
解答： 解：如图所示：△DEF与△ABC关于y轴对称的图形．
点评： 此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键．
18．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
15
考点： 轴对称-最短路线问题；待定系数法求二次函数解析式．
专题： 数形结合．
分析： （1）设抛物线顶点式解析式y=a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．
解答： 解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），
由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线AB′的解析式为y=7x﹣3，
令y=0，则7x﹣3=0，
解得x=，
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌握点P的确定方法是解题的关键．
19．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
15
专题： 证明题．
分析： （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS可证△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，
AB=AE=CD，
在△ADE与△CED中，
，
∴△ADE≌△CED（SSS）；
（2）∵△ADE≌△CED，
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴DE∥AC．
点评： 本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．
20．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；
（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．
解答： （1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，
在△DEF和△BCF中，
15
，
∴△DEF≌△BCF（AAS）；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AD=3，BD=6，
∴∠ABD=30°，
由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，
∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．
点评： 本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．
21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 证明题．
分析： （1）根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，
∴AB=AE，∠B=∠E，
∴AE=CD，∠D=∠E，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
（2）解：∵△AOE≌△COD，
∴AO=CO，
∵∠OCD=30°，AB=，
∴CO=CD÷cos30°=÷=2，
∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．
15
22．准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．
考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质．
分析： （1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．
（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠EBD=∠ABD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=2，
∴AE==，BF=BE=2AE=，
故菱形BFDE的面积为：×2=．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
15
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