图形的变化——图形的对称2
一．选择题（共9小题）
1．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（ ）
A．cm B．2cm C．2cm D．3cm
2．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图，则图中阴影部分的面积之和等于（ ）
A．a2 B．0.25a2 C．0.5a2 D．2
4．某位同学参加课外数学兴趣小组，绘制了下列四幅图案，其中是轴对称图形的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列“表情”中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
21
6．点M（﹣cos60°，sin60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图有4个冬季运动会的会标，其中不是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8下列几何图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．锐角 B．等腰三角形 C．直角梯形 D．扇形
9．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2
B．将点（﹣2，﹣3）向右平移5个单位长度到点（﹣2，2）
C．2是无理数
D．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点是（﹣2，3）
二．填空题（共6小题）
10．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4+2，点D在AB上，点E在AC上，△ADE沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B的长是 _________ ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为 _________ ．
12如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 _________ ．
21
13．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 _________ cm．
14．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长AD与宽AB的比值是 _________ ．
15．如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 _________ ．
三．解答题（共9小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣2，1），C（﹣2，4）．
（1）画出△ABC沿着y轴向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并直接写出点C的对应点C1的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△AB2C2，并直接写出点C的对应点C2的坐标．
17．如图是6×8的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，M、N也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′，使A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′；
（2）连接BA′交MN于D，交AC于E，求AE：CE；
（3）连接DB′交A′C′于点F，若每个小正方形的边长为1．求△B′C′F的面积．
21
18．如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．
（1）求证：DM=DN；
（2）当AB和AD满足什么数量关系时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．
19．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD＞AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．
（1）判断四边形ADEF的形状，并说明理由．
（2）取线段AF的中点G，连接EG、DG，如果DG∥CB，试说明四边形GBCE是等腰梯形．
20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，顶点C落在点E上，若BC=10，AB=5．
（1）求证：△ABO≌△EDO；
（2）求AO的长．
21．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点F上，连接BF并延长交DC的延长线于点G．
（1）求证：△EFG≌△EDG．
（2）当DG=3，BC=2时，求CG的长．
21
22．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部．如果将BG延长交DC于点F．
（1）则FG _________ FD（用“＞”、“=”、“＜”填空）
（2）若BC=12cm，CF比DF长1cm，试求线段AB的长．
23．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．
24．如图，点A（3，0），B（0，），一次函数y=kx+b的图象过A、B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=（m＞0）的图象上，求反比例函数的表达式．
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图形的变化——图形的对称2
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（ ）
A． cm B．2cm C．2cm D． 3cm
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，
∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，
∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，
∴∠ADE=∠A′DE，
∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，
在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，
在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．
故选：A．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．
2．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（ ）
A． 2 B．3 C．4 D． 5
考点： 图形的剪拼．
分析： 利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．
解答： 解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，
21
则n可以为：3，4，5，
故n≠2．
故选：A．
点评： 此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．
3．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图，则图中阴影部分的面积之和等于（ ）
A． a2 B．0.25a2 C．0.5a2 D． 2
考点： 轴对称的性质．
分析： 只要证明图中的阴影部分与对应的非阴影部分全等，则图中阴影部分的面积就不难计算了．
解答： 解：如图，
∵FH∥CD，
∴∠BHF=∠C=90°（同位角相等）；
在△BFH和△BDC中，
∴△BFH∽△BDC（AA），
∴
同理，得
又∵AD=CD，
∴GF=FH，
∵∠BGF=∠BHF=90°，BF=BF，
∴△BGF≌△BHF，
∴S△BGF=S△BHF，
同理，求得多边形GFEJ与多边形HFEI的面积相等，多边形JEDA与多边形IEDC的面积相等，
21
∴图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半，．
故选：C．
点评： 考查了轴对称的性质，解答本题时主要运用了正方形的性质，相似三角形的判定以及相似三角形的性质．所以，在以后的解题中合理的利用已学的定理与性质会降低题的难度．
4．某位同学参加课外数学兴趣小组，绘制了下列四幅图案，其中是轴对称图形的个数（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 轴对称图形．
专题： 几何变换．
分析： 根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称．
解答： 解：根据轴对称图形的概念，从左到右第1，2，4个图形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个，
故选：C．
点评： 此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形是解题关键．
5．下列“表情”中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称的定义，结合选项即可作出判断．
解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确；
故选D．
点评： 此题考查了轴对称的定义，属于基础题，注意掌握轴对称的定义是关键．
6．点M（﹣cos60°，sin60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标；特殊角的三角函数值．
分析： 先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
解答： 解：∵﹣cos60°=﹣，sin60°=，
∴点M．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），
21
∴M关于x轴的对称点的坐标是．
故选A．
点评： 考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．
7．如图有4个冬季运动会的会标，其中不是轴对称图形的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，即可判断出．
解答： 解：第一个图形：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项正确；
第二个图形：此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，故此选项错误；
第三个图形：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项正确；
第四个图形：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项正确．
故选：C．
点评： 此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
8．下列几何图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． 锐角 B等腰三角形 C．直角梯形 D． 扇形
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
解答： 解：所有图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么一定是轴对称图形的有锐角、等腰三角形、扇形，
故不是轴对称图形的是直角梯形．
故选：C．
点评： 本题考查了轴对称的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
9．下列说法正确的是（ ）
A． 4的平方根是2
B． 将点（﹣2，﹣3）向右平移5个单位长度到点（﹣2，2）
C． 2是无理数
D． 点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点是（﹣2，3）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标；平方根；无理数；坐标与图形变化-平移．
分析： 分别利用平方根以及无理数的定义和关于坐标轴对称的特点等知识分析得出即可．
解答： 解：A、4的平方根是±2，故此选项错误；
B、将点（﹣2，﹣3）向右平移5个单位长度到点（3，﹣3），此选项错误；
C、2是无理数，错误；
D、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点是（﹣2，3），此选项正确；
故选：D．
21
点评： 此题主要考查了平方根以及无理数的定义和关于坐标轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
二．填空题（共6小题）
10．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4+2，点D在AB上，点E在AC上，△ADE沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B的长是 2 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 几何综合题．
分析： 设A′B=x，根据等边三角形的性质可得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠BDA′=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2A′B，然后利用勾股定理列式表示出A′D，再根据翻折的性质可得AD=A′D，最后根据AB=BD+AD列出方程求解即可．
解答： 解：设A′B=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DA′⊥BC，
∴∠BDA′=90°﹣60°=30°，
∴BD=2A′B=2x，
由勾股定理得，A′D===x，
由翻折的性质得，AD=A′D=x，
所以，AB=BD+AD=2x+x=4+2，
解得x=2，
即A′B=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并用A′B表示出相关的线段是解题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为 6 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据矩形的性质得出CD=AB=8，∠D=90°，根据折叠性质得出CF=BC=10，根据勾股定理求出即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8，∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，
21
∴CF=BC=10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF===6，
故答案为：6．
点评： 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质的应用，解此题的关键是求出CF和DC的长，题目比较典型，难度适中．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4﹣x，在Rt△B'EC中，利用勾股定理解出x的值即可．
解答： 解：BC==4，
由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，
设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+22=（4﹣x）2，
解得：x=．
故答案为：．
点评： 本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式．
13．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 12 cm．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： 根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
解答： 解：由翻折的性质得，DF=EF，
设EF=x，则AF=6﹣x，
21
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=×6=3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即32+（6﹣x）2=x2，
解得x=，
∴AF=6﹣=，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴==，
即==，
解得BG=4，EG=5，
∴△EBG的周长=3+4+5=12．
故答案为：12．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．
14．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长AD与宽AB的比值是 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
专题： 数形结合；转化思想．
分析： 由AE=BE，可设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．由折叠的性质可得∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF==k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3k，即AD=3k，进而求解即可．
解答： 解：∵AE=BE，
∴设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．
∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，
21
∴∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∴cos∠AFE=cos∠DCF．
在Rt△AEF中，
∵∠A=90°，AE=2k，EF=3k，
∴AF==k，
∴=，即=，
∴CF=3k，
∴AD=BC=CF=3k，
∴长AD与宽AB的比值是=．
故答案为：．
点评： 此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．
15．如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 计算题．
分析： 先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD==5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长．
解答： 解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，
∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，
∴∠BCD=90°﹣∠DCE，
又∵∠B=90°﹣∠A，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD=AD==5，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE==3，
∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴，
∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．
21
故答案为：18．
点评： 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是△ABC的中位线关键．
三．解答题（共9小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣2，1），C（﹣2，4）．
（1）画出△ABC沿着y轴向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并直接写出点C的对应点C1的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△AB2C2，并直接写出点C的对应点C2的坐标．
考点： 作图-轴对称变换；作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
（2）根据网格结构找出点B、C关于y轴对称点B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标．
解答： 解：（1）△A1B1C1如图所示，C1（﹣2，﹣1）；
（2）△AB2C2如图所示，C2（2，4）．
点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
17 如图是6×8的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，M、N也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′，使A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′；
（2）连接BA′交MN于D，交AC于E，求AE：CE；
（3）连接DB′交A′C′于点F，若每个小正方形的边长为1．求△B′C′F的面积．
21
考点： 作图-轴对称变换；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）先根据轴对称的性质得出AA′∥BC，故可得出△AA′E∽△CBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）根据轴对称的性质得出△B′C′F≌△BCE，故S△B′C′F=S△BCF=S△ABC，由此可得出结论．
解答： 解：（1）如图所示；
（2）连接AA′，
∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AA′∥BC，
∴∠C=∠EAA′，∠AEA′=∠CEB，
∴△AA′E∽△CBE，
∴===；
（3）∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴△B′C′F≌△BCE，
∴S△B′C′F=S△BCF=S△ABC=××3×4=2．
点评： 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
18．如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．
（1）求证：DM=DN；
（2）当AB和AD满足什么数量关系时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．
21
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）根据矩形对边平行得∠1=∠3，根据折叠的性质得∠1=∠2，所以∠2=∠3，得DM=DN；
（2）假设△DMN是等边三角形，则∠ADM=30°．有MD=2AM，AD=AM，AB=3AM，得AB=AD．
解答： （1）证明：由题意知∠1=∠2，
又AB∥CD，得∠1=∠3，
则∠2=∠3．
故DM=DN；
（2）解：当AB=AD时，△DMN是等边三角形．
证明：连接BD．
∵∠A=90°，AB=AD，
∴tan∠ABD==，
∴∠ABD=30°．
∵BM=MD，
∴∠ABD=∠MDB=30°，
∴∠BMD=120°．
∴∠1=∠2=60°．
又DM=DN，
∴△DMN是等边三角形．
点评： 此题通过折叠考查了三角形的有关知识，难度中等．
19．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD＞AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．
（1）判断四边形ADEF的形状，并说明理由．
（2）取线段AF的中点G，连接EG、DG，如果DG∥CB，试说明四边形GBCE是等腰梯形．
21
考点： 翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；直角梯形；等腰梯形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）根据折叠的性质得到∠DEF=∠A=90°，DA=DE，由AB∥DC得∠ADE=90°，则可判断四边形ADEF为矩形，加上邻边相等，由此可判断四边形ADEF为正方形；
（2）由DG∥CB，DC∥AB可判断四边形BGDC是平行四边形，则BC=DG，DC=BG，所以EC≠BG，于是可判断四边形EGBC是梯形，再利用G点为AF的中点和正方形ADEF为轴对称图形得到GE=DG，则EG=CB，所以可判断四边形GBCE是等腰梯形．
解答： 解：（1）四边形ADEF为正方形．理由如下：
∵纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，
∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，
∵AB∥DC，
∴∠ADE=90°，
∴四边形ADEF为矩形，
而DA=DE，
∴四边形ADEF为正方形；
（2）∵DG∥CB，DC∥AB，
∴四边形BGDC是平行四边形，
∴BC=DG，DC=BG，
∴EC≠BG，
∴四边形EGBC是梯形，
又∵G点为AF的中点，
∴AG=GF，
而正方形ADEF为轴对称图形，
∴GE=DG，
∴EG=CB，
∴四边形EGBC为等腰梯形．
点评： 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了正方形和平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定．
20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，顶点C落在点E上，若BC=10，AB=5．
（1）求证：△ABO≌△EDO；
（2）求AO的长．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）根据矩形的性质和折叠的性质，由AAS易证△ABO≌△EDO．
（2）根据全等三角形的性质，设AO长x，则BO长（10﹣x），根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．
解答： （1）证明∵四边形ABCD为矩形，
∴ED=CD=AB，∠OAB=∠0ED，
在△ABO与△EDO中，
21
，
∴△ABO≌△EDO（AAS）
（2）解：∵△ABO≌△EDO，
∴DO=OB，
∴AO+BO=10，
设AO长x，则BO长（10﹣x），
根据勾股定理得 x2+52=（10﹣x）2，
解得x=3.75．
故AO的长为3.75．
点评： 本题综合考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及用方程思想解决几何问题等知识．
21．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点F上，连接BF并延长交DC的延长线于点G．
（1）求证：△EFG≌△EDG．
（2）当DG=3，BC=2时，求CG的长．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）根据折叠的性质和矩形的性质可得△EFG与△EDG是直角三角形，DE=AE=FE，再根据HL即可证明△EFG≌△EDG．
（2）根据全等三角形的性质可得DG=FG=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理可求CG的长．
解答： （1）证明：E是边AD的中点，
∴DE=AE=FE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠BFE=90°
∴∠D=∠EFG=90°．
在Rt△EFG与Rt△EDG中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）；
（2）解：∵△EFG≌△EDG，
∴DG=FG=3，
设CG=x，DC=3﹣x，
AB=BF=DC=3﹣x
BG=3﹣x+3=6﹣x
在Rt△BCG中，
BG2=BC2+CG2，
（6﹣x）2=（2）2+x2，
21
解得x=1，
即CG=1．
点评： 考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度．
22．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部．如果将BG延长交DC于点F．
（1）则FG = FD（用“＞”、“=”、“＜”填空）
（2）若BC=12cm，CF比DF长1cm，试求线段AB的长．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；
（2）可设CF=xcm，则BF=x+x﹣1+x﹣1=（3x﹣2）cm，在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x，进一步得到线段AB的长．
解答： 解：（1）连接EF，
则根据翻折不变性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
在Rt△EGF与Rt△EDF中，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG=FD；
（2）设CF=xcm，则BF=x+x﹣1+x﹣1=（3x﹣2）cm，
在Rt△BFC中，BF2=BC2+CF2，
即（3x﹣2）2=122+x2，
解得x1=﹣3.5（舍去），x2=5．
AB=x+x﹣1=2x﹣1=9cm．
故线段AB的长是9cm．
故答案为：=．
点评： 此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．
23．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．
21
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；
（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，在Rt△CDN中，由勾股定理，求得CD=2x，则x=，然后在Rt△MNH中，由勾股定理即可求得MN的长．
解答： （1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；
（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴MC=3ND=3HC．
∴MH=2HC．
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，CD==2x=4，
∴x=．
∴MH=2．
在Rt△MNH中，MN=．
点评： 此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．
24．如图，点A（3，0），B（0，），一次函数y=kx+b的图象过A、B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=（m＞0）的图象上，求反比例函数的表达式．
21
考点： 翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式．
分析： （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）作CD⊥OA交x轴于点D，求得∠CAO的度数，然后在直角△ACD中，利用三角函数求得AD和AD的长，则OD即可求得，求得C的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式．
解答： 解：（1）根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y=﹣x+；
（2）∵点A（3，0），B（0，），
∴tan∠ABO==，
∴∠ABO=60°，∠OAB=30°．
∴∠OAC=60°，AC=AO=3，OB=BC=，
作CD⊥OA交x轴于点D．
∴CD=AC•sin∠CA0=，AD=，OD=，
∴C（，），
代入y=得：m=，
则函数的解析式是：y=．
点评： 本题考查了待定系数法求直线和反比例函数的解析式，正确求得C的坐标是关键．
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