2015届高中数学二轮复习 专题6 不等式、推理与证明、算法框图与复数（第2讲）课时作业 新人教A版.doc

‎2015高考数学二轮不等式、推理与证明、算法框图与复数课时作业2（有解析新人教A版）‎ 一、选择题 ‎1．(2013·常德市模拟)设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，且m、n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵m、n⊂α，α∥β⇒m∥β且n∥β；若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，α∥β，否则α∥β不成立，故选A.‎ ‎2．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0‎ C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的求法．‎ 两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时，此时直线与OP垂直(如图所示)，kOP＝1，则所求直线斜率为－1.故所求直线方程为y－1＝－(x－1)即x＋y－2＝0.‎ ‎3．(文)(2014·衡水中学模拟)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2011＋a2012>0，a2011·a20120成立的最大正整数n是(　　)‎ A．2011 B．2012‎ C．4022 D．4023‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a2011＋a2012>0，a2011·a20120，‎ ‎∴a2011>0，a20120，S4023f(x)成立，则(　　)‎ A．f(ln2014)‎2014f(0)‎ D．f(ln2014)与‎2014f(0)的大小关系不确定 ‎[答案]　C ‎[解析]　令g(x)＝，则 g′(x)＝＝>0，‎ ‎∴g(x)为增函数，∵ln2014>0，∴g(ln2014)>g(0)，‎ 即>，‎ ‎∴f(ln2014)>‎2014f(0)，故选C.‎ ‎5．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是(　　)‎ A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 ‎[答案]　D ‎[解析]　正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．‎ ‎6．观察下图：‎ 则第(　　)行的各数之和等于20112.(　　)‎ A．2010 B．2009‎ C．1006 D．1005‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n行各数和为(2n－1)2，令2n－1＝2011，解得n＝1006.‎ ‎[点评]　观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n行从n开始，有2n－1个数，因此第n行各数的和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝＝(2n－1)2.‎ 二、填空题 ‎7．(文)(2013·眉山二诊)已知2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，若9＋＝92×(a、b为正整数)，则a＋b＝________.‎ - 9 -‎ ‎[答案]　89‎ ‎[解析]　观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故其一般规律为n＋＝n2×，此式显然对任意n∈N，n≥2都成立，故当n＝9时，此式为9＋＝81×，∴a＝80，b＝9，a＋b＝89.‎ ‎(理)(2013·陕西理，14)观察下列等式 ‎12＝1，‎ ‎12－22＝－3，‎ ‎12－22＋32＝6，‎ ‎12－22＋32－42＝－10，‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为________．‎ ‎[答案]　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)‎ ‎[解析]　观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为 ‎(－1)n＋1·，所以第n个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)．‎ ‎8．(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个；11,22,33，…，99,3位对称数有90个，101,111,121，…，191,202，…，999，则2n＋1(n∈N*)位对称数有________个．‎ ‎[答案]　9×10n ‎[解析]　易知对称数的位数与个数如表：‎ 位数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ 个数 ‎9‎ ‎90‎ ‎90‎ ‎900‎ ‎…‎ ‎∴2n＋1倍对称数有9×10n个．‎ ‎9．(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______________．‎ ‎[答案]　13＋23＋…＋n3＝ ‎[解析]　本题考查归纳推理，等式左边是连续n个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，∴第n个等式右边是(1＋2＋3＋…＋n)2，即[]2，‎ 故填13＋23＋…＋n3＝.‎ ‎(理)(2014·石家庄模拟)已知数列{an}：，，，，，，，，，，…，根据它的前10项的规律，则a99＋a100的值为________．‎ - 9 -‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由前10项的构成规律知，分子分母和为n＋1(n∈N*)的共有n项，从和为2到和为n＋1的最后一项，共有1＋2＋3＋…＋n＝项，当n＝13时，＝91，n＝14时，＝105，因此a99和a100分别为和为15的第8项和第9项，∴a99＋a100＝＋＝.‎ 三、解答题 ‎10．(文)已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)，当x＝1时，函数y＝f(x)取得极小值．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)证明：若x∈(0，)，则f(x)>－x.‎ ‎[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f ′(x)＝－＋＝.‎ ‎∵x＝1时函数y＝f(x)取得极小值，‎ ‎∴f ′(1)＝0，∴a＝1.‎ 当a＝1时，在(0,1)内f ′(x)0，‎ ‎∴x＝1是函数y＝f(x)的极小值点，满足题意．‎ ‎∴a＝1.‎ ‎(2)证明：f(x)>－x等价于：f(x)＋x> 令g(x)＝f(x)＋x，则g ′(x)＝＋1＝，‎ 令h(x)＝x2＋x－1.‎ ‎∵h(0)＝－10)．‎ ‎(1)若函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，求实数m的最小值；‎ ‎(2)若m＝1，且对于任意x∈[0，]，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵函数f(x)＝mx－sinx在R上单调递增，‎ ‎∴f′(x)≥0恒成立，‎ ‎∵f′(x)＝m－cosx，‎ ‎∴m≥cosx，∴mmin＝1.‎ ‎(2)∵m＝1，∴函数f(x)＝x－sinx，‎ ‎∵f(x)≥g(x)，∴x＋sinx－axcosx≥0，‎ - 9 -‎ 对于任意x∈[0，]，令H(x)＝x＋sinx－axcosx，‎ 则H′(x)＝1＋cosx－a(cosx－xsinx)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx.‎ ‎①当1－a≥0时，即00，‎ ‎∴H(x)在[0，]上为单调增函数，‎ ‎∴H(x)≥H(0)＝0符合题意，∴01，∴‎2a－1>0，∴h′(x)≥0，‎ ‎∴h(x)在[0，]上为单调增函数，‎ ‎∴h(0)≤h(x)≤h()，即2－a≤h(x)≤a＋1，‎ ‎∴2－a≤H′(x)≤a＋1.‎ ‎(ⅰ)当2－a≥0，即1b，∴c>a>b，‎ ‎∵x＋y＋>显然成立，‎ ‎∴