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阶段检测4 二次函数
一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是( )
2．对于二次函数y＝－x2＋x－4，下列说法正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点
3．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
4．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋6x＋5 C．y＝x2＋4x＋4 D．y＝x2＋8x＋17
5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：
第5题图
①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：
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x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是x＝－
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则
( )
第7题图
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c C．bc＋1＝a D．以上都不是
8．(2017·宜宾)如图，抛物线y1＝(x＋1)2＋1与y2＝a(x－4)2－3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论
第8题图
①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2，其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( )
A．t≥－1 B．－1≤t＜3
C．－1≤t＜8 D．3＜t＜8
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第9题图 第10题图
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A．y＝x2 B．y＝x2
C．y＝x2 D．y＝x2
二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)
11．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长量l/mm与温度t/℃之间是二次函数关系：l＝－t2－2t＋49.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃.
第11题图
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b，其中正确结论的序号有 .
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 .
14．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y＝－x2＋6x上．设OA＝m(0＜m＜3)，矩形ABCD的周长为l，
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则l与m的函数解析式为 .
15．如图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，则该抛物线的解析式为 .
16．已知：抛物线y＝a(x－2)2＋b(ab＜0)的顶点为A，与x轴的交点为B、C.
(1)抛物线对称轴方程为 ；
(2)若D点为抛物线对称轴上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形，则a，b满足的关系式是 .
三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)
17．已知抛物线y＝x2－2x＋1.
(1)求它的对称轴和顶点坐标；
(2)根据图象，确定当x＞2时，y的取值范围．
第18题图
18．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边的距离分别为m，m.
(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
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第19题图
19．如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
20．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．
21．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
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产品
每件售价(万元)
每件成本(万元)
每年其他费用(万元)
每年最大产销量(件)
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40＋0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；
(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
22．A、B两个水管同时开始向一个空容器内注水．如图是A、B两个水管各自注水量y(m3)与注水时间x(h)之间的函数图象，已知B水管的注水速度是1m3/h，1小时后，A水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是(1，2)，且注水9小时，容器刚好注满．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)直接写出A、B注水量y(m3)与注水时间x(h)之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围：
第22题图
yA＝ yB＝________( )
(2)求容器的容量；
(3)根据图象，通过计算回答，当yA＞yB时，直接写出x的取值范围．
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23． 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.
(1)当a＝－时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网；
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
第23题图
24．如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．
第24题图
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
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阶段检测4 二次函数
一、1—5.CBABB
6—10.DABCC
二、11.－1 12.①③④ 13.3＋ 14.l＝－2m2＋8m＋12 15.y＝－x2
16.(1)x＝2 (2)ab＝－1
三、17.(1)y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，0)； (2)抛物线图象如图所示：当x＝2时，y＝1.由图象可知当x>2时，y的取值范围是y>1.
第17题图
18．(1)根据题意得：B，C，把B，C代入y＝ax2＋bx得解得：∴拋物线的函数关系式为y＝－x2＋2x；∴图案最高点到地面的距离＝＝1； (2)令y＝0，即－x2＋2x＝0，∴x1＝0，x2＝2，∴10÷2＝5，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．
19．(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx，得解得： (2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD，BC，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4；S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4；S△BCD＝BD·CF＝×4×＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)，∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
第19题图
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20．(1)y＝. (2)由(1)可知当0＜x≤30或x>m，函数值y都是随着x的增加而增加，当30＜x≤m时，y＝－x2＋150x＝－(x－75)2＋5625，∵a＝－1＜0，∴x≤75时，y随着x增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m≤75.
21．(1)y1＝(6－a)x－20，(0＜x≤200)，y2＝10x－40－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40.(0＜x≤80)． (2)对于y1＝(6－a)x－20，∵6－a＞0，∴x＝200时，y1的值最大＝(1180－200a)万元．对于y2＝－0.05(x－100)2＋460，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝440万元．(3)①(1180－200a)＝440，解得a＝3.7，②(1180－200a)＞440，解得a＜3.7，③(1180－200a)＜440，解得a＞3.7，∵3≤a≤5，∴当a＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．
22．(1)yA＝；yB＝x(0≤x≤9)， (2)容器的总容量是：x＝9时，V总容量＝x＋(x－1)2＋2＝9＋10＝19(m3)， (3)当x＝(x－1)2＋2时，解得：x1＝5－2，x2＝5＋2，利用图象可得出：当yA＞yB时，x的取值范围是：0＜x＜5－2或5＋2＜x≤9.
23．(1)①当a＝－时，y＝－(x－4)2＋h，将点P(0，1)代入，得：－×16＋h＝1，解得：h＝；②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋，得：y＝－×(5－4)2＋＝1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；(2)把(0，1)、代入y＝a(x－4)2＋h，得：解得：∴a＝－.
24．(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A、B点的坐标代入函数解析式，得解得抛物线的解析式为y＝－x2＋x－4，配方，得y＝－＋，顶点坐标为； (2)E点坐标为，S＝2×OA·yE＝6，即S＝－4x2＋28x－24； (3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，
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理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即－4x2＋28x－24＝24，化简，得x2－7x＋12＝0，解得x＝3或4，当x＝3时，EO＝EA，平行四边形OEAF为菱形．当x＝4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．
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