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2017年内蒙古乌海市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）若3（a+1）的值与1互为倒数，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．0 D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2
C．a4•a2=a8 D．（﹣2x）3=﹣6x3
3．（3分）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
4．（3分）某市测一周PM2.5的月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．50和50 B．50和40 C．40和50 D．40和40
5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．6
6．（3分）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
8．（3分）圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．320° B．40° C．160° D．80°
9．（3分）化简÷•，其结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
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10．（3分）有下列命题：
①若x2=x，则x=1；
②若a2=b2，则a=b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
12．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
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13．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为 ．
14．（3分）若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为 ．
15．（3分）计算：2cos45°﹣（π+1）0+= ．
16．（3分）如图，▱ABCD的周长为20，对角线AC，BD交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△CDE的周长为 ．
17．（3分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= ．
18．（3分）已知双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k= ．
19．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
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20．（3分）菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
（1）BF为∠ABE的角平分线；
（2）DF=2BF；
（3）2AB2=DF•DB；
（4）sin∠BAE=．
其中正确的结论为 （填序号）
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分）
评定等级
频数
90≤n≤100
A
2
80≤n＜90
B
70≤n＜80
C
15
n＜70
D
6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
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（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．
22．（8分）某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上．（≈1.732，≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
23．（10分）我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月销售这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润最大，最大是多少？
24．（10分）如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
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（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度．（结果保留π）
25．（12分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
26．（12分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）若3（a+1）的值与1互为倒数，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．0 D．
【解答】解：1的倒数是1，
依题意有3（a+1）=1，
解得a=﹣．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2
C．a4•a2=a8 D．（﹣2x）3=﹣6x3
【解答】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
B、（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2，故本选项正确；
C、a4•a2=a4+2=a6，故本选项错误；
D、（﹣2x）3=（﹣2）3•x3=﹣8x3，故本选项错误．
故选B．
3．（3分）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
【解答】解：∵代数式+有意义，
∴，
解得x≥0且x≠1．
故选D．
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4．（3分）某市测一周PM2.5的月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．50和50 B．50和40 C．40和50 D．40和40
【解答】解：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、73，
数据50出现了三次最多，所以50为众数；
50处在第4位是中位数．
故选：A．
5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．6
【解答】解：∵sinA=，∴∠A=30°．
∴tan30°=，
∴BC=2．
故选A．
6．（3分）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中一个数是另一个数两倍的有4种情况，
∴其中一个数是另一个数2倍的概率是： =．
故选A．
7．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+
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1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
8．（3分）圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．320° B．40° C．160° D．80°
【解答】解：∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为： lr=×80π×90=3600π，
∴=3600π，
解得：n=160．
故选C．
9．（3分）化简÷•，其结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【解答】解：原式=﹣••=﹣2．
故选A．
10．（3分）有下列命题：
①若x2=x，则x=1；
②若a2=b2，则a=b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
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④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：若x2=x，则x=1或x=0，所以①错误；
若a2=b2，则a=±b，所以②错误；
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以③正确；
相等的弧所对的圆周角相等，所以④正确．
故选B．
11．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG===，
∴AC=2，
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∵OA•BK=•AC•OB，
∴BK=4，AK==3，
∴点B坐标（8，4），
∴直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=﹣x+1，
由解得，
∴点P坐标（，）．
故选D．
12．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
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∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为 1×10﹣9 ．
【解答】解：0.000000001=1×10﹣9；
故答案为1．×10﹣9．
14．（3分）若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为 2 ．
【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2，
当x=3﹣时，原式=（3﹣﹣3）2=2，
故答案为：2．
15．（3分）计算：2cos45°﹣（π+1）0+= + ．
【解答】解：原式=2×﹣1++2=+，
故答案为： +
16．（3分）如图，▱ABCD的周长为20，对角线AC，BD交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△CDE的周长为 10 ．
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【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，CD=AB．
又OE⊥AC，
∴AE=CE．
∴△DCE的周长=CD+DE+CE=CD+AD=×20=10，
故答案为：10．
17．（3分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= 2 ．
【解答】解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB=OD，
∵OC=OB，
∴OC=OD，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，
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∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC•sin60°=2×=，
∴CF=2．
故答案为：2
18．（3分）已知双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k= ﹣2 ．
【解答】解：设D（m，），
∵双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，
∴A（2m，），
∵S△OAC=3，
∴•（﹣2m）•+k=3，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．
19．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
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【解答】解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，
∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，
∴DC=2EF，AB=5，
作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，
在Rt△ABH中，AH==2，
∴EF=．
故答案为：．
20．（3分）菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
（1）BF为∠ABE的角平分线；
（2）DF=2BF；
（3）2AB2=DF•DB；
（4）sin∠BAE=．
其中正确的结论为 （1）（3）（4） （填序号）
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【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，BD⊥AC，DO=OB，故（1）正确，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AD⊥AE，
∵∠ADO=∠ADF，∠AOD=∠DAF=90°，
∴△ADO∽△FDA，
∴=，
∴AD2=DO•DF，
∴2AD2=2DO•DF，
∵AB=AD，BD=2DO，
∴2AB2=DF•DB，故（3）正确，
∵AD∥BC，
∴==，
∵sin∠BAE=，
∴sin∠BAE=，故（4）正确．
∵=，
如果DF=2BF，那么AD=2BE，所以BE=EC，这个显然不可能，故②错误，
∴正确的有（1）（3）（4）
故答案为（1）（3）（4）．
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三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分）
评定等级
频数
90≤n≤100
A
2
80≤n＜90
B
70≤n＜80
C
15
n＜70
D
6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．
【解答】解：（1）15÷60%=25，
所以a=25﹣2﹣15﹣6=2；
（2）B等级所在扇形的圆心角=×360°=28°48′；
（3）评估成绩不少于80分的连锁店中A等级有2家，B等级有2家，
画树状图为：
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共有12种等可能的结果数，其中至少有一家是A等级的结果数为10，
所以其中至少有一家是A等级的概率==．
22．（8分）某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上．（≈1.732，≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
【解答】解：（1）道路AB不穿过电力设施区域．
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x米，
由题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣45°=45°，
在Rt△ACD中，AD==x（米），
在Rt△BCD中，BD=CD=x（米），
∵AB=1000米，
∴x+x=1000，
解得：x=500﹣500≈366，
∵366米＞350米，
∴道路AB不穿过电力设施区域；
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（2）设原计划每天修路y米，依题意得
﹣5=+，
解得：y=50，
经检验，y=50是原分式方程的解．
答：原计划每天修路50米．
23．（10分）我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月销售这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润最大，最大是多少？
【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200；
（2）供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则，
解得：300≤x≤350．
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∴售价x的范围为：（300≤x≤350）；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
24．（10分）如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度．（结果保留π）
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
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（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴的长==π．
25．（12分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
【解答】解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
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∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴AE==2，
∴AN=FN=AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．
∴AM=AB=．
∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．
∵△BMA∽△CMG，
∴．
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∴．
∴CG=．
∴在Rt△BGC中，BG==．
26．（12分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，则y=﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，
∴有，解得：，
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∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，
∴xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3．
∵原点O为线段AB的中点，
∴xA+xB=2+k=0，
解得：k=﹣2．
当k=﹣2时，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，
解得：xA=﹣，xB=．
∴yA=﹣2xA=2，yB=﹣2xB=﹣2．
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，﹣2）．
（3）假设存在．
由（2）可知：xA+xB=2+k，xA•xB=﹣3，
S△ABC=OC•|xA﹣xB|=×3×=，
∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．
∵（2+k）2非负，无解．
故假设不成立．
所以不存在实数k使得△ABC的面积为．
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