专训3　利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专训2　证比例式或等积式的技巧 名师点金：‎ 证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．‎ ‎ 构造平行线法 ‎1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.‎ 求证：AE·CF＝BF·EC.‎ ‎(第1题)‎ ‎2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F.‎ 求证：AB·DF＝BC·EF.‎ ‎(第2题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 三点定型法[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.‎ 求证：＝.‎ ‎(第3题)‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.‎ 求证：AM2＝MD·ME.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第4题)‎ ‎ 构造相似三角形法 ‎5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.‎ 求证：BP·CP＝BM·CN.‎ ‎(第5题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 等比过渡法 ‎6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.‎ 求证：(1)△DEF∽△BDE；‎ ‎(2)DG·DF＝DB·EF.‎ ‎(第6题)‎ ‎7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.‎ 求证：CE2＝DE·PE.‎ ‎(第7题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎. 两次相似法 ‎8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.‎ 求证：＝.‎ ‎(第8题)‎ ‎9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：‎ ‎(1)△AMB∽△AND；‎ ‎(2)＝.‎ ‎(第9题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 等积代换法 ‎10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.‎ 求证：＝.‎ ‎(第10题)‎ ‎ 等线段代换法 ‎11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.‎ 求证：BP2＝PE·PF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第11题)‎ ‎12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.‎ 求证：PD2＝PB·PC.‎ ‎(第12题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 ‎1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.‎ ‎∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.‎ ‎∴＝.‎ 又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴＝.‎ ‎∵D为AB的中点，∴BD＝AD.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴＝.∴＝，‎ 即AE·CF＝BF·EC.‎ ‎(第1题)‎ ‎　　(第2题)‎ ‎2．证明：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，‎ 易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∵AD＝CE，∴＝.∴＝，‎ 即AB·DF＝BC·EF.‎ 点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．‎ ‎3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A＝∠C，AE∥DC.‎ ‎∴∠CDF＝∠E.‎ ‎∴△FCD∽△DAE.∴＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.‎ ‎∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.‎ 又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，‎ ‎∴BM＝AM.‎ ‎∴∠B＝∠BAM.‎ ‎∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.‎ 又∵∠AME＝∠DMA.‎ ‎∴△AME∽△DMA.‎ ‎∴＝，即AM2＝MD·ME.‎ ‎(第5题)‎ ‎5．证明：如图，连接PM，PN.‎ ‎∵MN是AP的垂直平分线，‎ ‎∴MA＝MP，‎ NA＝NP.‎ ‎∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.‎ 又∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.‎ ‎∴∠2＋∠4＝60°.‎ ‎∴∠5＋∠6＝120°.‎ 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，‎ ‎∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.‎ ‎∴＝，即BP·CP＝BM·CN.‎ ‎6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，‎ ‎∴∠ACB＋∠FED＝180°，∠ABC＋∠EDB＝180°.‎ ‎∴∠FED＝∠EDB.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵∠EDF＝∠DBE，‎ ‎∴△DEF∽△BDE.‎ ‎(2)由△DEF∽△BDE得＝，即DE2＝DB·EF.‎ 又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.‎ ‎∵∠GDE＝∠EDF，‎ ‎∴△GDE∽△EDF.‎ ‎∴＝，即DE2＝DG·DF.‎ ‎∴DG·DF＝DB·EF.‎ ‎7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，‎ ‎∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.‎ ‎∴∠P＋∠PAB＝90°，‎ ‎∠PAB＋∠ABG＝90°.‎ ‎∴∠P＝∠ABG.‎ ‎∴△AEP∽△DEB.‎ ‎∴＝.即AE·BE＝PE·DE.‎ 又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，‎ ‎∴∠CAB＋∠ACE＝90°.‎ 又∵∠ACB＝90°，[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎∴∠CAB＋∠CBE＝90°.‎ ‎∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.‎ ‎∴＝，即CE2＝AE·BE.‎ ‎∴CE2＝DE·PE.‎ ‎8．证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.‎ ‎∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.‎ ‎∴△BDF∽△BAE.∴＝.‎ ‎∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.‎ ‎∴△ABC∽△DBA.∴＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝.‎ ‎9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.‎ ‎∵AM⊥BC，AN⊥CD，‎ ‎∴∠AMB＝∠AND＝90°.‎ ‎∴△AMB∽△AND.‎ ‎(2)由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN.‎ 又∵AD＝BC，∴＝.‎ ‎∵AM⊥BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠MAD＝∠AMB＝90°.‎ ‎∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.‎ ‎∴△AMN∽△BAC.∴＝.‎ ‎10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，‎ ‎∴∠ADB＝∠AED＝90°.‎ 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE.[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎∴＝，即AD2＝AE·AB.‎ 同理可得AD2＝AF·AC.‎ ‎∴AE·AB＝AF·AC.∴＝.‎ ‎11．证明：连接PC，如图所示．‎ ‎(第11题)‎ ‎∵AB＝AC，AD⊥BC，‎ ‎∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.‎ ‎∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.‎ ‎∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，‎ 即∠3＝∠4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.‎ 又∵∠CPF＝∠CPE，‎ ‎∴△CPF∽△EPC.‎ ‎∴＝，即CP2＝PF·PE.‎ ‎∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.‎ ‎12．证明：如图，连接PA，‎ ‎(第12题)‎ ‎∵EP是AD的垂直平分线，‎ ‎∴PA＝PD.‎ ‎∴∠PDA＝∠PAD.‎ ‎∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.‎ 又∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.‎ 又∵∠APC＝∠BPA，‎ ‎∴△PAC∽△PBA.∴＝.‎ 即PA2＝PB·PC.‎ ‎∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费