临沂市郯城县八年级下《第1章三角形的证明》单元检测题及答案.docx

山东省临沂市郯城县2016年八年级下册第1章三角形的证明单元检测题及答案(北师大版)‎ ‎（本试卷满分：100分，时间：90分钟）‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1.下列命题：‎ ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；‎ ②等腰三角形两腰上的高相等；‎ ③等腰三角形的最短边是底边；‎ ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ‎ ⑤等腰三角形都是锐角三角形.‎ 其中正确的有（ ）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为（ ）‎ A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°‎ ‎4.（2015•湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）‎ A.8或10 B.8 C.10 D.6或12‎ ‎5.如图，已知，，，下列结论：‎ ①；‎ ②；‎ ③；‎ ④△≌△．‎ 其中正确的有（　　）‎ A.1个 B.2个 ‎ ‎ C.3个 D.4个 ‎6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（ ）‎ A.5 cm B.6 cm C.cm D.8 cm ‎7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的 是（　　）‎ A. B. C. D.三个答案都是 ‎ ‎8. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎9.已知一个直角三角形的周长是2，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积 为（ ）‎ A.5 B.2 C. D.1‎ ‎10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果cm，那么△的周长是（ ）‎ A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 第 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 . ‎ ‎12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形.‎ ‎13.（2015•四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.‎ ‎14.如图，在△ABC中，，AM平分∠， cm，则点M到AB的距离 是_________.‎ ‎ ‎ ‎15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点， FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则 ‎ _________，_________.‎ ‎16. 在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .‎ ‎17.如图，已知的垂直平分线交于点，则 .‎ ‎18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠‎ ADF=100°,那么∠BMD为 度.‎ 三、解答题（共46分）‎ ‎19.（6分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.‎ ‎ ‎ ‎20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.‎ 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.‎ 举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.‎ 应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.‎ 探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA 的长.‎ ‎21.（6分）如图所示，在四边形中，平分∠.‎ 求证：.‎ ‎22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若，求BE的长.‎ ‎23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45‎ ‎°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．‎ 第24题图 ‎24.（8分） 如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.‎ ‎25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．‎ 第一章三角形的证明检测题参考答案 ‎1.B 解析：只有②④正确.‎ ‎2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，‎ ‎∴‎ ‎∴ BC边上的高=‎ ‎∵ AD平分∠BAC，∴点D到AB，AC的距离相等，设为h，‎ 则解得 解得故选A．‎ ‎3.B 解析：因为，所以.‎ 因为，所以.‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以所以 ‎4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4‎ ‎，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.‎ ‎5.C 解析：因为，‎ 所以△≌△（），‎ 所以，‎ 所以 ，‎ 即故③正确.‎ 又因为 ，‎ 所以△≌△（ASA），‎ 所以 ，故①正确.‎ 由△≌△，知，‎ 又因为，‎ 所以△≌△，故④正确.‎ 由于条件不足，无法证得② 故正确的结论有：①③④.‎ ‎6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，‎ 所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.‎ 又因为最短边 cm，则最长边 cm.‎ ‎7.D 解析：添加A选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等；‎ 添加B选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等；‎ 添加C选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D．‎ ‎8.D 解析：在△ABC中，∵ ∠A=36°，AB=AC，‎ ‎∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.‎ ‎∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD=36°，‎ ‎∴ ∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°，‎ ‎∴ ∠C＝∠CDB，∴ △ABD，△CBD都是等腰三角形.‎ ‎∴ BC=BD.∵ BE=BC，∴ BD=BE，‎ ‎∴ △EBD是等腰三角形，‎ ‎∴ ∠BED＝=＝72°.‎ 在△AED中，∵ ∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴ ∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴ ∠ADE=∠A =36°，∴ △AED是等腰三角形.‎ ‎∴ 图中共有5个等腰三角形.‎ ‎9.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中 因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以 又因为直角三角形的周长是，所以.‎ 两边平方，得，即.‎ 由勾股定理知，‎ 所以 ，所以.‎ ‎10.D 解析：因为垂直平分，所以. ‎ 所以△的周长（cm）.‎ ‎11.100° 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，‎ 所以∠OAB=∠OBA=×50°=25°，‎ 得∠BOA=∠COA=‎ ‎∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.‎ 所以∠OBC=∠OCB= =40°.‎ 由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.‎ ‎12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三 角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.‎ ‎13.15 解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.‎ 因为AB＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.‎ 因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，‎ 所以∠DBE＝∠A＝50°.‎ 所以∠DBC＝65°－50°＝15°.‎ ‎14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.‎ ‎15. 1∶3 解析：因为，F是AB的中点，所以.‎ 在Rt△中，因为，所以.‎ 又，所.‎ ‎16.4∶3 解析：如图所示，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，‎ 垂足分别为点M和点N.‎ ‎∵ AD平分∠BAC，∴ DM＝DN.‎ ‎∵ AB×DM，‎ AC×DN，‎ ‎∴ . 第16题答图 ‎17. 解析:∵ ∠BAC=120，AB=AC，‎ ‎∴ ∠B=∠C=‎ ‎∵ AC的垂直平分线交BC于点D，∴ AD=CD.‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎18. 85 解析:∵ ∠BDM=180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°，‎ ‎∴ ∠BMD=180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°.‎ ‎19.证明：∵，‎ ‎∴ ∥，∴ .‎ 又∵ 为∠的平分线，‎ ‎∴ ，∴ ，‎ ‎∴ .‎ ‎20. 解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.‎ ‎∵ CD为等边三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，‎ ‎∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴ ‎∴ ‎∴ 与已知PD＝AB矛盾，∴ PB≠PC.‎ 若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.‎ 若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.‎ 探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴ x ＝ ，即PA＝.‎ 若PA＝PC，则PA＝2.‎ 若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA＝2或.‎ ‎21.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，‎ 过点D作于点F.‎ 因为BD平分∠ABC，所以.‎ 在Rt△EAD和Rt△FCD中， 所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.‎ 所以∠=∠.‎ 因为∠∠80°，‎ 所以∠.‎ ‎22.解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，‎ 所以，∠∠60°.‎ 所以∠∠∠∠，‎ 即∠∠.‎ 在△和△中，因为 所以△≌△，所以.‎ 又，所以.‎ 在等腰直角△中，，故.‎ ‎23.解：，BE⊥EC.‎ 证明：∵ ，点D是AC的中点，∴ .‎ ‎∵ ∠∠45°，∴ ∠∠135°.‎ ‎∵ ，∴ △EAB≌△EDC.‎ ‎∴ ∠∠.‎ ‎∴ ∠∠90°.∴ ⊥.‎ ‎24.证明：∵ AE∥BD，∴ ∠EAC＝∠ACB.‎ ‎∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB.∴ ∠EAC＝∠B.‎ 又∵ ∠BAD＝∠ACE＝90°，‎ ‎∴ △ABD≌△CAE（ASA）.∴ AD＝CE.‎ ‎25.证明：∵ ，∴ ∠∠．‎ ‎∵于点，∴ ∠∠．‎ ‎∴ ∠∠∠∠．∴ ∠∠．‎ ‎∵ ∠∠，∴ ∠∠．∴ △是等腰三角形.‎