2017-2018学年天津市红桥区九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）下列函数中是二次函数的是（　　）‎ A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2 D．y=3x2﹣1‎ ‎2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（　　）‎ A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）‎ ‎5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（　　）‎ A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1‎ ‎7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（　　）‎ A．2 B． C．3 D．2‎ ‎8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．75° B．65° C．60° D．50°‎ ‎9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（　　）‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）‎ A．110° B．120° C．150° D．160°‎ ‎11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）‎ A．10 B．18 C．20 D．22‎ ‎12．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．16 B． C． D．9‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是　 　．‎ ‎14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=　 　．‎ ‎15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=　 　．‎ ‎16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是　 　．‎ ‎17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=　 　．‎ ‎19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是　 　．‎ ‎20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共60分）‎ ‎21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．‎ ‎（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；‎ ‎（2）试用概率说明游戏是否公平．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：‎ ‎（Ⅰ）求反比例函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．‎ ‎23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．‎ ‎（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；‎ ‎（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．‎ ‎24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．‎ ‎（1）求证：BC为⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F ‎（1）如图①，求证：AE=AF；‎ ‎（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．‎ ‎①若BF′=6，求CE′的长；‎ ‎②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．‎ ‎26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；‎ ‎（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）下列函数中是二次函数的是（　　）‎ A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2 D．y=3x2﹣1‎ ‎【解答】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）‎ ‎（A）最高次数项为1次，故A错误；‎ ‎（B）最高次数项为3次，故B错误；‎ ‎（C）y=x2+2x+1﹣x2=2x﹣1，故C错误；‎ 故选（D）‎ ‎　‎ ‎2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴即 解得：EC=6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（　　）‎ A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）‎ ‎【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（x﹣4）2+5，‎ ‎∴其顶点坐标为：（4，5）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，‎ ‎∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（　　）‎ A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1‎ ‎【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴1﹣m＞0，‎ 解得：m＜1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（　　）‎ A．2 B． C．3 D．2‎ ‎【解答】解：如图OA=2，求AB长．‎ ‎∠AOB=360°÷3=120°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴AB=2AC，∠AOC=60°，‎ ‎∴AC=OA×sin60°=cm，‎ ‎∴AB=2AC=2cm，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（　　）‎ A．75° B．65° C．60° D．50°‎ ‎【解答】解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°．‎ 又∠BAD=25°，‎ ‎∴∠B=65°．‎ ‎∴∠C=65°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，‎ ‎∴AC=AC′，∠CAC′=40°，‎ ‎∴∠AC′C=∠ACC′=70°，‎ ‎∵CC′∥AB，‎ ‎∴∠BAC=∠ACC′=70°，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）‎ A．110° B．120° C．150° D．160°‎ ‎【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．‎ ‎∵旋转角为20°，‎ ‎∴∠DAD′=20°，‎ ‎∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．‎ ‎∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，‎ ‎∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，‎ ‎∴∠1=∠BED′=110°．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．10 B．18 C．20 D．22‎ ‎【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，‎ ‎∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，‎ ‎∴△PCD的周长是PC+CD+PD ‎=PC+AC+DB+PD ‎=PA+PB ‎=10+10‎ ‎=20．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（　　）‎ A．16 B． C． D．9‎ ‎【解答】解：连DC，如图，‎ ‎∵AE=3EC，△ADE的面积为3，‎ ‎∴△CDE的面积为1，‎ ‎∴△ADC的面积为4，‎ 设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，‎ 而点D为OB的中点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BD=OD=b，‎ ‎∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，‎ ‎∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，‎ ‎∴ab=，‎ 把A（a，b）代入双曲线y=，‎ ‎∴k=ab=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是　m＞1　．‎ ‎【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，‎ 所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=　﹣2　．‎ ‎【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=1，解得k=﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=　8.5　．‎ ‎【解答】解：∵AD=3，DC=4，‎ ‎∴AC=AD+DC=3+4=7，‎ ‎∵△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得AB=10.5，‎ ‎∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．‎ 故答案为：8.5．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是　10　．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵AC=6，BC=8，AB=10，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴∠C=90°，‎ ‎∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，‎ 故答案为：10．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是　　．‎ ‎【解答】解：画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：‎ 由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，‎ ‎∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=　　．‎ ‎【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，‎ ‎∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，‎ ‎∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，‎ ‎∴△BDF∽△CFE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴=，即=，‎ 解得，CE=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是　3　．‎ ‎【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．‎ ‎∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，‎ ‎∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，‎ ‎∵∠ECF=60°，‎ ‎∴∠FCD=∠ECG．‎ 在△FCD和△ECG中，‎ ‎，‎ ‎∴△FCD≌△ECG（SAS），‎ ‎∴DF=GE．‎ 当EG∥BC时，EG最小，‎ ‎∵点G为AC的中点，‎ ‎∴此时EG=DF=CD=BC=3．‎ 故答案为3．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为　4　．‎ ‎【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），‎ 将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a=，‎ 则抛物线解析式为y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣4；‎ 过M作MN⊥x轴，设M的横坐标为m，则M（m， m2+m﹣4），‎ ‎∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4，ON=﹣m，‎ ‎∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，‎ ‎∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB ‎=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4‎ ‎=2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8‎ ‎=﹣m2﹣4m ‎=﹣（m+2）2+4，‎ 当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．‎ 故答案为4．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共60分）‎ ‎21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．‎ ‎（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；‎ ‎（2）试用概率说明游戏是否公平．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），‎ ‎（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿） 共9种情况；‎ ‎（2）P（甲获胜）==，‎ ‎ P（乙获胜）=，‎ P（甲获胜）＞P（乙获胜），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以游戏不公平．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：‎ ‎（Ⅰ）求反比例函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵点B（3，﹣1）在y1=图象上，‎ ‎∴=﹣1，‎ ‎∴m=﹣3，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=﹣；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎∴﹣=﹣x+，即x2﹣x﹣6=0，‎ 则（x﹣3）（x+2）=0，‎ 解得：x1=3、x2=﹣2，‎ 当x=﹣2时，y=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴D（﹣2，）；‎ 结合函数图象知y1＞y2时﹣2＜x＜0或x＞3；‎ ‎（Ⅲ）∵点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点 ‎∴a=﹣3‎ ‎∴A（1，﹣3）‎ 设直线AB为y=kx+b，‎ 则 ‎∴，‎ ‎∴直线AB解析式为y=x﹣4‎ 令y=0，则x=4‎ ‎∴P（4，0）．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．‎ ‎（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；‎ ‎（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥AB，‎ ‎∴∠CAB=∠EDA，‎ 又∵∠B=∠DAE，‎ ‎∴△ABC∽△DAE； ‎ ‎（Ⅱ）解：∵△ABC∽△DAE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=8，AD=6，AE=4，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴=，‎ ‎∴BC=．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．‎ ‎（1）求证：BC为⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：‎ ‎∵DE与⊙O相切于点E ‎∴∠OEC=90°，‎ 在△OBC和△OEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△OBC≌△OEC（SSS），‎ ‎∴∠OBC=∠OEC=90°，‎ ‎∴BC为⊙O的切线；‎ ‎（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=x ‎∵CE，CB为⊙O切线，‎ ‎∴CB=CE=x，‎ ‎∵DE，DA为⊙O切线，‎ ‎∴DE=DA=1，‎ ‎∴DC=x+1，‎ ‎∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°‎ ‎∴四边形ADFB为矩形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DF=AB=4 BF=AD=1，‎ ‎∴FC=x﹣1，‎ Rt△CDF中，根据勾股定理得：‎ ‎（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，‎ 解得：x=4，‎ ‎∴CE=4．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F ‎（1）如图①，求证：AE=AF；‎ ‎（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．‎ ‎①若BF′=6，求CE′的长；‎ ‎②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，‎ ‎∴∠AFE=∠AEF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AE=AF．‎ ‎（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，‎ 在△CAE′和△BAF′中，‎ ‎，‎ ‎∴△CAE′≌△BAF′（SAS），‎ ‎∴CE′=BF′=6；‎ ‎②由（1）可知AE=BC，‎ 所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，‎ ‎①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，‎ 所以，∠BAM=∠ABC=72°，‎ 又∵∠BAC=36°，‎ ‎∴α=∠CAM=36°；‎ ‎②当点E的像E′与点N重合时，‎ ‎∵CE′∥AB，‎ ‎∴∠AMN=∠BAM=72°，‎ ‎∵AM=AN，‎ ‎∴∠ANM=∠AMN=72°，‎ ‎∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，‎ ‎∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，‎ 综上所述，当旋转角α为36°或72°．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；‎ ‎（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），‎ 把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，‎ 所以抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），‎ 即y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）抛物线的对称轴为直线x=1，‎ 设E（t，t2﹣2t﹣3），‎ 当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），‎ ‎∵矩形EFGH为正方形，‎ ‎∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），‎ 整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+（舍去），t2=2﹣（舍去）；‎ 当1＜t＜3时，如图2，EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），‎ ‎∵矩形EFGH为正方形，‎ ‎∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），‎ 整理得t2﹣5=0，解得t1=，t2=﹣（舍去），‎ 此时正方形EFGH的边长为2﹣2；‎ 当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，‎ ‎∵矩形EFGH为正方形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，‎ 整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+，t2=2﹣（舍去），‎ 此时正方形EFGH的边长为2+2，‎ 综上所述，正方形EFGH的边长为2﹣2或2+2；‎ ‎（3）设P（x，x2﹣2x﹣3），‎ 当﹣1＜x＜0时，‎ ‎∵S△ABC=×4×3=6，‎ ‎∴0＜S△APC＜6，‎ 当0＜x＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，‎ 易得直线AC的解析式为y=x﹣3，则M（x，x﹣3），‎ ‎∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，‎ ‎∴S△APC=•3•（﹣x2+3x）‎ ‎=﹣x2+x ‎=﹣（x﹣）2+，‎ 当x=时，S△APC的面积的最大值为，即0＜S△APC＜，‎ 综上所述，0＜S△APC＜6，‎ ‎∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费