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2015 高考数学二轮复习高效课堂测试卷 5（文科含答案）
1．若 a＝30.6，b＝log30.2，c＝0.63，则( )
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
解析：因为 30.6＞1，log30.2＜0,0＜0.63＜1，所以 a＞c＞b.故选 A.
答案：A
2．(2014 年福建高考)若函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象如右图所示，则下列函数图象正确
的是( )
解析：因为函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的图象过点(3,1)，所以 1＝loga3，解得 a＝3，所以 y＝3
－x 不可能过点(1,3)，排除 A；y＝(－x)3＝－x3 不可能过点(1,1)，排除 C；y＝log3(－x)不可能
过点(－3，－1)，排除 D.故选 B.
答案：B
3．f(x)＝2sin πx－x＋1 的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：令 2sin πx－x＋1＝0，则 2sin πx＝x－1，令 h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则 f(x)＝2sin πx
－x＋1 的零点个数问题转化为两个函数 h(x)与 g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx 的最小
正周期为 T＝2π
π
＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h(1)＝g(1)，h
5
2 ＞g
5
2 ，g(4)＝3＞2，
g(－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有 5 个，∴f(x)＝2sin πx－x＋1 的零点个数为 5.
答案：B
4．(2014 年陕西高考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x1
2 D．f(x)＝
1
2 x- 2 -
解析：f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，A 错误．f(x)＝3x，f(x＋y)＝
3x＋y＝3x·3y，满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，且 f(x)＝3x 是增函数，B 正确．f(x)＝x1
2
，f(x＋y)＝(x＋
y)1
2≠x1
2·y1
2
，不满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，C 错误．f(x)＝
1
2 x，f(x＋y)＝
1
2 x＋y＝
1
2 x·
1
2 y，满足 f(x
＋y)＝f(x)f(y)，但 f(x)＝
1
2 x 不是增函数，D 错误．
答案：B
5．若偶函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋2)＝f(x)，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，则 y＝f(x)的图象与 y＝log4|x|
的图象的交点个数是( )
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：由于 f(x)是满足 f(x＋2)＝f(x)的偶函数，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，故 f(x)是周期为 2 的周
期函数，其图象如图所示，根据函数 y＝log4|x|也是偶函数，其图象也关于 y 轴对称，容易知
道它们的交点共有 6 个，故选 C.
答案：C
6．已知函数 f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a－3，则使函数 f(x)至少有一个整数零点的所有正整数 a 的
值之和等于( )
A．1 B．4
C．6 D．9
解析：由已知 f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a－3 存在整数零点，∴方程 ax2＋(1－2a)x＋a－3＝0 有整
数解，∴a(x－1)2＝3－x，显然 x＝1 不是其解，故 a＝ 3－x
x－1 2
，由于 a 为正整数，故 a＝
3－x
x－1 2
≥1，∴－1≤x≤2，分别以 x＝－1,0,2，代入求得 a＝1,3，故所有正整数 a 的值之和等
于 4，选择 B.
答案：B
7．已知函数 y＝f(x)是 R 上的可导函数，当 x≠0 时，有 f′(x)＋f x
x
＞0，则函数 F(x)＝xf(x)＋1
x
的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：依题意，记 g(x)＝xf(x)，则 g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0.当 x＞0 时，g′(x)＝x
f′ x ＋f x
x
＞0，g(x)是增函数，g(x)＞0；当 x＜0 时，g′(x)＝x
f′ x ＋f x
x ＜0，g(x)是减函数，g(x)
＞0.在同一坐标系内画出函数 y＝g(x)与 y＝－1
x
的大致图象(图略)，结合图象可知，它们共有 1- 3 -
个公共点，因此函数 F(x)＝xf(x)＋1
x
的零点个数是 1，选 B.
答案：B
8．(2014 年合肥模拟)函数 f(x)＝x2－ax＋1 在区间
1
2
，3 上有零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C.
2，5
2 D.
2，10
3
解析：因为 f(x)＝x2－ax＋1 在区间
1
2
，3 上有零点，所以 x2－ax＋1＝0 在
1
2
，3 上有解．由
x2－ax＋1＝0，得 a＝x＋1
x
，设 g(x)＝x＋1
x
，则 g′(x)＝1－ 1
x2
，令 g′(x)＞0，得 g(x)在(1，＋∞)，
(－∞，－1)上单调递增，令 g′(x)＝1－ 1
x2
＜0，得 g(x)在(－1,1)上单调递减，因为1
2
＜x＜3，所以
g(x)在
1
2
，1 上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以当1
2
＜x＜3 时，2≤g(x)＜10
3
，所以 a∈ 2，10
3 .
答案：D
9．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边
角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为( )
A．160 B．175
C.715
4
D．180
解析：依题意知当 x＝20，y≤8 时，阴影部分面积 S1≤20×8＝160.当 x＜20,8＜y＜24 时，有20－x
x
＝ y－8
24－y
，即 x＝5
4(24－y)，此时阴影部分的面积 S＝xy＝5
4(24－y)y＝5
4(－y2＋24y)，故当 y＝12
时，S 有最大值为 180.综上可知，截取的矩形面积的最大值为 180.
答案：D
10．已知函数 f(x)＝ kx＋1，x≤0
log2x，x＞0
，下列是关于函数 y＝f[f(x)]＋1 的零点个数的 4 个判断：
①当 k＞0 时，有 3 个零点；
②当 k＜0 时，有 2 个零点；
③当 k＞0 时，有 4 个零点；
④当 k＜0 时，有 1 个零点．
则正确的判断是( )
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
解析：令 f[f(x)]＋1＝0 得 f[f(x)]＝－1.当 k＞0 时，在平面直角坐标系下画出函数 f(x)的大致图
象及直线 y＝－1，注意到直线 y＝－1 与函数 f(x)的图象有 2 个交点，设其横坐标分别是 t1、- 4 -
t2，则 t1＜0,0＜t2＜1；再画出直线 y＝t1 与 y＝t2，结合图象可知，直线 y＝t1 与函数 f(x)的
图象有2个不同的交点，直线y＝t2与函数f(x)的图象有2个不同的交点，因此此时函数y＝f[f(x)]
＋1 有 4 个零点．同理，当 k＜0 时，函数 y＝f[f(x)]＋1 有 1 个零点，结合各选项知，选 D.
答案：D
11．已知 a，b∈R，若 4a＝23－2b，则 a＋b＝________.
解析：由 4a＝23－2b，得 22a＝23－2b，因此有 2a＋2b＝3，故 a＋b＝3
2
.
答案：3
2
12．若函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是________．
解析：令 g(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，h(x)＝x＋a，分 0＜a＜1，a＞1 两种情况，在同一坐标系中
画出两个函数的图象，如图，若函数 f(x)＝ax－x－a 有两个不同的零点，则函数 g(x)，h(x)的图
象有两个不同的交点，根据画出的图象可知只有当 a＞1 时符合题目要求．
.
答案：(1，＋∞)
13．已知 t＞－1，当 x∈[－t，t＋2]时，函数 y＝(x－4)|x|的最小值为－4，则 t 的取值范围是
________．
解析：对于函数 y＝(x－4)|x|可化为 y＝ x2－4x，x∈[0，＋∞
－x2＋4x，x∈ －∞，0
，其图象如图所示，当
y＝－4 时，x＝2 或 x＝2－2 2，要满足当 x∈[－t，t＋2]时，函数 y＝(x－4)|x|的最小值为－4，
则 2－2 2≤－t≤2≤t＋2，因此可得 t 的取值范围是[0,2 2－2]．
答案：[0,2 2－2]
14．(2014 年南京一模)某商场 2013 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，
现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q＞0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p＞0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.
(1)能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)；
(2)若所选函数满足 f(1)＝10，f(3)＝2，则 f(x)＝________.- 5 -
解析：(1)①②都是单调函数，只有③先减后增，故填③；(2)将 f(1)＝10，f(3)＝2 代入③解得 p
＝－8，q＝17，所以 f(x)＝x2－8x＋17.
答案：③ x2－8x＋17
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