安徽省2015届高考数学二轮复习 高效课时检测试卷20 文 .doc

‎2015高考数学二轮复习高效课堂测试卷20（文科附答案） ‎ ‎1．已知点P是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设A，B是椭圆C上两个动点，满足：＋＝λ(0＜λ＜4，且λ≠2)．求直线AB的斜率．‎ 解：(1)∵PF1⊥x轴，∴F1(－1,0)，F2(1,0)，c＝1.‎ ‎|PF2|＝＝，‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＋＝λ 得 ＋＝λ，‎ ‎∴x1＋x2＝λ－2，y1＋y2＝(2－λ)．①‎ 又3x＋4y＝12,3x＋4y＝12，‎ 两式相减，得3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.②‎ 将①式代入②式，可得AB的斜率k＝＝.‎ ‎2．(2014年石家庄模拟)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P是直线x＝1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点．‎ 解：(1)依题意e＝＝，‎ 过焦点F与长轴垂直的直线x＝c与椭圆＋＝1联立解得弦长为＝1，‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设P(1，t)，则kPA＝＝，直线lPA：y＝(x＋2)，‎ - 4 -‎ 联方.‎ 得(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，‎ 可知－2xM＝，所以xM＝，‎ 则.同理得到.‎ 由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上．‎ 不妨设这个定点为Q(m,0)，‎ 则kMQ＝，kNQ＝，‎ kMQ＝kNQ，故(‎8m－32)t2－‎6m＋24＝0，m＝4.‎ ‎3．如图，已知O(0,0)，E(－，0)，F(，0)，圆F：(x－)2＋y2＝5.动点P满足|PE|＋|PF|＝4.以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)证明：点Q到直线PF的距离为定值，并求此值．‎ 解：(1)由|PE|＋|PF|＝4＞|EF|及椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆．‎ 设P(x，y)，则点P的轨迹方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设圆P与圆F的另一个公共点为T，连结QT，并设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，T(x2，y2)，则由题意知，圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋y.‎ 又Q为圆P与圆F的一个公共点，故 ，‎ 所以(x0－)x1＋y0y1－1＝0.‎ 同理(x0－)x2＋y0y2－1＝0.‎ 因此直线QT的方程为 ‎(x0－)x＋y0y－1＝0.‎ 设PF交QT于H，则PF⊥QT.设|QH|＝d(d＞0)，则在Rt△QHF中，‎ - 4 -‎ ‎|FH|＝.‎ 又＋y＝1，故|FH|＝＝2×＝2.‎ 在Rt△QHF中，d＝＝1.‎ 所以点Q到直线PF的距离为1.‎ ‎4．(2014年浙江高考)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3 .‎ ‎(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值．‎ 解：(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.‎ 设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．‎ 由＝3 ，分别得M或M.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．‎ 由，得x2－4kx－‎4m＝0.‎ 于是Δ＝16k2＋‎16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－‎4m，‎ 所以AB的中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．‎ 由＝3 ，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，‎ 所以由x＝4y0‎ 得k2＝－m＋.‎ 由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤ 又因为|AB|＝4 ，‎ 点F(0,1)到直线AB的距离为d＝.‎ 所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|＝ .‎ 记f(m)＝‎3m3‎－‎5m2‎＋m＋1.‎ 令f′(m)＝‎9m2‎－‎10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1.‎ 可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．又f＝＞f - 4 -‎ ‎.‎ 所以，当m＝时，f(m)取到最大值，‎ 此时k＝±.‎ 所以，△ABP面积的最大值为.‎ - 4 -‎