东北三校2015年高三数学第一次联考模拟试卷（文科附答案）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码
区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
１．已知集合若则等于（ ）
A．1 B．2 C． 3 D． 1或2
２．复数（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３． 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“”是“”的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
４．向量满足则向量与的夹角为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５．实数是上的随机数，则关于的方程有实根的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）
（第６题图）
２
２
２
正视图
侧视图
俯视图
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
14
７．椭圆两个焦点分别是，点是椭圆上
任意一点，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB过点Ｏ，,,, 则三棱锥的体积为（ ）
开始
结束
输入t
输出S
否
是
（第10题图）
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
９． 已知数列满足
，则
=（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．执行如图所示的程序框图，要使输出的的值小于１，
则输入的值不能是下面的（ ）
Ａ．8 Ｂ．9
Ｃ．10 Ｄ．11
11．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．函数的零点个数为（ ）
Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．
14
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）
13．若等差数列中，满足，则=_________．
14．若变量满足约束条件，则的最小值为 ．
15．已知双曲线C：，点P与双曲线C的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为，则=____．
16．若函数满足: （ⅰ）函数的定义域是； （ⅱ）对任意有；（ⅲ）. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）
①函数是奇函数；②函数是偶函数；③对任意，若，则；④ 对任意，有.
三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
已知的面积为且满足设和的夹角为．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的值域．
18．（本题满分12分）
空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：）为时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为
14
时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年１月某日某省个监测点数据统计如下：
空气污染指数
(单位：)
监测点个数
15
40
10
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
频率
组距
空气污染指数
（）
0
50
100
150
200
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？
19．（本题满分12分）
如图，多面体中，底面是菱形，
，四边形是正方形，且
平面.
(Ⅰ)求证: 平面；
(Ⅱ)若，求多面体的体积.
14
20．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知动圆过点，且被轴所截得的弦长为4.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ) 过点分别作斜率为的两条直线，交于两点(点异于点),若，且直线与圆相切，求△的面积.
21．（本题满分12分）
已知实数为常数，函数．
（Ⅰ）若曲线在处的切线过点Ａ，求实数值；
（Ⅱ）若函数有两个极值点．
①求证：；②求证： ，．
请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
C
D
M
O
B
E
A
请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号．
22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，在中，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.
（Ⅰ）求证：是圆的切线；
（Ⅱ）求证：.
23．（本题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
14
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.
24．（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，使得，求实数的取值范围.
东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试文科数学试题
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
C
C
B
B
C
A
C
A
D
D
二．填空题
13． 4030 14．－6 15．－16 16． ②③④
三.解答题
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，
则由已知：，， ……4分
可得，所以：． ……6分
（Ⅱ）
． ……8分
，，．
即当时，；当时，．
14
所以：函数的值域是 ……12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
……2分
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
频率
组距
空气污染指数
（）
0
50
100
150
200
……5分
（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3, 空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分
其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为
(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分
所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是. ……12分
19．（本小题满分12分）
(Ⅰ)证明： 是菱形，.
又平面，平面，平面.
……2分
14
又是正方形，.
平面，平面，
平面. ……4分
平面，平面，，
平面平面.
由于平面，知平面. ……6分
(Ⅱ)解：连接，记.
是菱形，，且．
由平面，平面，.
平面，平面，，
平面于，
即为四棱锥的高. ……9分
由是菱形，，则为等边三角形，由，则，
，，， . ……12分
20．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ) 设动圆圆心坐标为，半径为，由题可知；
动圆圆心的轨迹方程为 ……4分
(Ⅱ) 设直线斜率为,则
点P（1,2）在抛物线上
14
设,恒成立，即有
代入直线方程可得 ……6分
同理可得 ……7分
……9分
不妨设.
因为直线与圆相切，所以解得或1,
当时, 直线过点,舍
当时, 由；
到直线的距离为，△的面积为. ……12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由已知: ,切点 ……1分
切线方程: ,把 代入得: ……3分
（Ⅱ）①证明：
依题意: 有两个不等实根
设 则:
(ⅰ)当 时: ,所以 是增函数,不符合题意; ……5分
(ⅱ)当 时:由得:
列表如下:
14
0
↗
极大值
↘
= ,解得: ……8分
（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）
方法一：当且时，，当且时
在上必有一个零点．
当时，设，
＋
０
－
↗
极大值
↘
时，即
时，
设，由，时，
在上有一个零点
综上，函数有两个极值点时，得证．
方法二
有两个极值点,即有两个零点,
14
即有两不同实根.
设,,
当时，；当时，
＋
０
－
↗
极大值
↘
当时有极大值也是最大值为，
，故在有一个零点
当时，且
时
综上函数有两个极值点时，得证．
② 证明： 由①知: 变化如下:
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
由表可知: 在 上为增函数,
又 ,故 ……10分
14
所以：
即，． ……12分
22.选修4-1: 几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连结.
∵点是的中点，点是的中点，
∴，∴.
∵，∴，∴.
……2分
在和中，∵，，，
∴≌， ……4分
∴，即.
∵是圆上一点，∴是圆的切线. ……5分
（Ⅱ）延长交圆于点.
∵≌，∴.∵点是的中点，∴.
∵是圆的切线，∴.∴. ……7分
∵，
∴.
∵是圆的切线，是圆的割线，
∴，∴ ……10分
23.选修4-4: 坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由，得：，∴，即，
∴曲线的直角坐标方程为. ……2分
14
由，得，即，
∴直线的普通方程为. ……5分
（Ⅱ）将代入，得：，
整理得：，
由，即，解得：.
设是上述方程的两实根，则， ……7分
又直线过点，由上式及的几何意义得
，解得：或，都符合，
因此实数的值为或或. 分
24.选修4-5: 不等式选讲
解：（Ⅰ）当时，，
，即，解得，又，∴；
当时，，
，即，解得，又，∴；
当时，，
，即，解得，又，∴. ……3分
14
综上，不等式的解集为. ……5分
（Ⅱ），∴. ……7分
∵，使得，∴，
整理得：，解得：，
因此的取值范围是. ……10分
14
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