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第8讲 曲线与方程
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0
⇔
故或
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A.设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选D.
如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，
所以|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
4．(2016·珠海模拟)已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
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解析：选B.设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，所以
即
因为点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
所以y1＝2x1－4，
所以－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
5．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，则动点M(x，y)的轨迹为( )
A．两条直线
B．圆或椭圆
C．双曲线
D．两条直线或圆或椭圆或双曲线
解析：选D.因为a⊥b，a＝(mx，y＋1)，b＝(x，y－1)，
所以a·b＝mx2＋y2－1＝0即mx2＋y2＝1.
当m＝0时，动点M的轨迹为两条直线，y＝±1，
当m＝1时，动点M的轨迹为圆x2＋y2＝1，
当m>0且m≠1时，动点M的轨迹为椭圆
＋y2＝1，
当m2，故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线，a＝1，c＝2，得b2＝3，所求轨迹方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
9．已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
解析：＝＋，
如图，＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝－(x，y)
＝，
即P点坐标为，
又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
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答案：＋＝1
10．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由|PF1|·|PF2|＝a2，可得 ·＝a2(a>1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故①不正确．
因为点P(x，y)在曲线C上，则点P关于原点的对称点为P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin θ＝a2sin θ≤a2，故③正确．
答案：②③
11．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．
解：因为|AB|＝＝5，所以AB边上高h＝＝4.
故C的轨迹是与直线AB距离等于4的两条平行线．
因为kAB＝，
AB的方程为4x－3y＋4＝0，可设轨迹方程为4x－3y＋c＝0.
由＝4，得c＝24或c＝－16，
故动点C的轨迹方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
12．(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为C1(3，0)．
(2)设M(x，y)，因为 A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
所以由圆的性质知：MC1⊥MO，所以·＝0.
又因为＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
所以由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，
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解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3，0)．
又因为直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，所以0，则
因为△OAB的面积为定值2，
所以S△OAB＝OA·OB＝(x1)(x2)＝x1x2＝2.
①2－②2得x2－y2＝x1x2，而x1x2＝2，
所以x2－y2＝2.
由于x1>0，x2>0，所以x>0，
即所求点M的轨迹方程为x2－y2＝2(x>0)．
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答案：x2－y2＝2(x>0)
3．(2016·唐山模拟)已知P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1，0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．
解：(1)圆A的圆心为A(－1，0)，半径等于2.
由已知|MB|＝|MP|，
于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2>2＝|AB|，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，
即a＝，c＝1，b＝1，
所以曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P.
于是直线AP的方程为y＝(x＋1)．
由
整理得5x2＋2x－7＝0，
解得x1＝1，x2＝－.
由于点M在线段AP上，
所以点M坐标为.
4．(2016·郑州质检)已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A、B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C、D两点，与线段AB相交于一点(与A、B不重合)．
(1)求曲线E的方程；
(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．
解：(1)设点P(x，y)，由题意可得，
＝，
整理可得＋y2＝1.
所以曲线E的方程是＋y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得|AB|＝.
当m＝0时，不合题意．
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当m≠0时，由直线l与圆x2＋y2＝1相切，可得＝1，即m2＋1＝n2.
联立消去y得x2＋2mnx＋n2－1＝0，
Δ＝4m2n2－4(n2－1)＝2m2>0，
x1＝，x2＝，
S四边形ACBD＝|AB||x2－x1|＝＝≤，
当且仅当2|m|＝，即m＝±时等号成立，此时n＝±，经检验可知，直线y＝x－和直线y＝－x＋符合题意．
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