湖北宜昌市第一中学2014-2015学年高二数学3月月考试题 理.doc

宜昌一中2014-2015高二数学3月月考试题（理科有答案）‎ ‎1．把化为八进制数为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知函数的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是 ‎ ‎ A　　 　　 B C　　 　　 D ‎3．已知一三角形边长为，其中为最大边，则该三角形是钝角三角形的概率为 A． 　 　 B． C． D．‎ ‎4．设函数，满足，则的展开式中的系数为 A．－360 　 B．‎360 C．－60 　 D．60‎ ‎5．以下四个命题中，真命题的个数为 ‎①命题“ ”的否定是“”；‎ ‎②若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；‎ ‎③“”是“直线垂直”的充分不必要条件； ‎ ‎④直线与圆相交于两点，则弦的长为．‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎6．已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为 A． B． C． D．‎ ‎7．设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点， 为的最小值，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的值不可能为 - 11 -‎ A． B． C． D．‎ ‎9．正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是 A．1 B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．某校高一高二田径队有运动员98人，其中高一有56人．按用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取高二运动员人数是 ．‎ ‎12．若在上可导，，则 ．‎ ‎13．如图，是上的两点，且，，为中点，连接并延长交于点，则 ．‎ ‎14．三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为 ．‎ ‎15．若抛物线的内接的重心恰为其焦点，则 ‎⑴ ；‎ ‎⑵ ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋‎3a20，命题q：实数x满足．‎ ‎(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ - 11 -‎ ‎17．（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．‎ ‎（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；‎ ‎（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）已知函数,．‎ ‎ (Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若的最小值为0，求实数的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点， 于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示. ‎ ‎（Ⅰ）求二面角A–DC –B的余弦值．‎ E B C A D F ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点使得平面？若存在,请指明点的位置；若不存在，请说明理由．‎ - 11 -‎ ‎20．（本小题满分13分）已知为椭圆的右焦点，椭圆上的任意一点到点的距离与到直线的距离之比为．‎ ‎(Ⅰ)求直线的方程；‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，直线与交于点．以为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分14分）牛顿在《流数法》一书中，给出了一种求方程近似解的数值方法——牛顿法．它的具体步骤是：‎ ‎①对于给定方程，考查其对应函数（左图中较粗曲线），在曲线上取一个初始点；‎ ‎②作出过该点曲线的切线，与轴的交点横坐标记为；‎ ‎③用替代再作出切线，重复以上过程得到．‎ 一直继续下去，得到数列，它们越来越接近方程的真实解．（其中，）‎ 如果给定一个精确度，我们可以根据上述方法得到方程 - 11 -‎ 的近似解．‎ 其算法程序框图为右图：‎ ‎ ‎ 请回答以下问题：‎ ‎(Ⅰ)写出框图中横线处用表示的关系式；‎ ‎(Ⅱ)若，，，则该程序运行的结果为多少？‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下（精确度不计），证明所得满足使数列为等比数列，且．‎ - 11 -‎ 根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175． ……4分 ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人． ………………………………………6分 由题意知，X的可能取值为0，1，2，‎ P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝＝． ……………10分 X ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ ……………………12分 - 11 -‎ 令，则，‎ 由，解得；由，解得．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 故，即当且仅当时，.‎ 因此，． …………………………………………………………………………………………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）因为平面平面，交线为，‎ 又在中，于，平面 ‎ 所以平面 . …………………………………………………………………2分 ‎ 由题意可知，又.‎ 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 轴，轴，‎ 建立空间直角坐标系 ‎ 不妨设，则.‎ ‎ 由图1条件计算得，，，‎ ‎ 则 ‎ ‎ .‎ ‎ 由平面可知平面DCB的法向量为. ‎ ‎ 设平面的法向量为，则 ‎ 即 ……………………………………………………………4分 ‎ 令，则，所以. 平面DCB的法向量为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为 - 11 -‎ ‎ …………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）设，其中. 由于，‎ 所以，其中 ‎ 所以 ……………………………………………10分 由，即 解得. ‎ 所以在线段上存在点使，且. ………………………12分 方法二：（Ⅰ）由题意为正三角形，且为的中点，不妨设,‎ ‎ 则，由，过作的延长线的垂线于，连，‎ ‎ 可知，为二面角的平面角， ……………………………………3分 ‎ ,‎ 故二面角的余弦值为. ………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）取中点为，中点为，连接，交于，‎ 不难得：，则，为所求， …………………………8分 设,，为上靠近点的一个三等分点， ‎ ‎，‎ 所以在线段上存在点使，且 . ………………………12分 - 11 -‎ k.Com]‎ ‎21. 解：(I)由已知，的方程为，令得； …2分 ‎(II) ，，故， …………3分 当时，，此时，进行循环，‎ 当时，，此时，故输出； ……… 5分 ‎(III)由(II)，数列满足且，‎ - 11 -‎ ‎， ……………………………… 7分 故，而，‎ 为以为首项，为公比的等比数列． ……………………………… 9分 ‎，得， ……………………………… 10分 方法一：（与等比数列比较）‎ 考查，比较与的大小，‎ 当时，，‎ 当时，由于，时取等 ‎（其中等号均在时取得）．‎ 故 ……………………………… 12分 ‎ …………… 14分 方法二：（裂项求和）‎ 当时，由 得， ……… 12分 ‎ ‎ - 11 -‎ ‎………… 14分 ‎ ‎ - 11 -‎