辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三数学下学期开学联考试题 理.doc

朝阳市2014-2015高三数学下学期开学联考试卷（理科有答案）‎ 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合，，则(∁U) （ ）‎ ‎ ‎ ‎2.若，则是的 （ ）‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎3.已知，且，则 （ ）‎ ‎ ‎ ‎4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 （ ）‎ ‎ 3 4 5 6‎ ‎5.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）‎ ‎ ‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎ （第4题图） （第5题图）‎ ‎6.设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是 （ ）‎ ‎ ‎ - 11 -‎ ‎7.已知，则展开式中，的一次项系数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎8. 抛物线与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且 ‎⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎9. 若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数 （ ）‎ ‎ ‎ ‎10.已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎11.平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎12.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则 （ ）‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知复数，是z的共轭复数，则___________.‎ - 11 -‎ ‎14. 已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________.‎ ‎15.已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则___________.‎ ‎16.在中，内角的对边分别为，已知，且，则的面积是___________.‎ 三、解答题：（共6小题，共70分）‎ ‎17. （12分）已知数列满足,，.‎ ‎（1）求证：是等差数列；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知，，，.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)设 (0≤l≤1)，且平面与所 成的锐二面角的大小为30°，试求l的值.‎ ‎19.（本小题满分12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如下表所示：‎ 学生 A B C D E 数学（x分）‎ ‎89‎ ‎91‎ ‎93‎ ‎95‎ ‎97‎ 物理（y分）‎ ‎87‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎(1)根据表中数据，求物理分对数学分的回归方程：‎ - 11 -‎ ‎(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望. （ 附：回归方程中，，）‎ ‎20.(本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分） 设函数，其中.‎ ‎（1）当时，证明不等式；‎ ‎（2）设的最小值为，证明.‎ 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 A C B D E O ‎ 如图，内接于圆，平分交圆于点，过点作圆的切线交直线于点. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ - 11 -‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数. ‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若的解集为，，求证：.‎ 高三数学试题（理科）参考答案及评分标准 选择题：‎ ‎1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 12.D 填空题：‎ ‎13. 14. 4 15. 3 16. ‎ 三、 解答题：‎ - 11 -‎ ‎17.证明：（1）‎ ‎ 是以3为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎ ………………6分 ‎（2）由（1）知： …………8分 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ………………12分 ‎18. 解：（1）因为侧面,侧面，‎ 故, ………………2分 在中, 由余弦定理得：‎ ‎，‎ 所以故,所以, ………………4分 而 ‎ ………………6分 ‎（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为 ‎ 轴建立空间直角坐标系. ‎ 则，,. ‎ 所以,所以, ‎ - 11 -‎ 则. 设平面的法向量为，‎ 则由,得,即，‎ 令，则是平面的一个法 向量. ‎ 侧面,是平面的一个法向量，‎ ‎.‎ 两边平方并化简得，所以=1或（舍去）‎ ‎ ………………12分 ‎19.解：（1）， ‎ ‎ ………………2分 ‎ ‎ ，‎ ‎.‎ 所以，物理分对数学分的回归方程为; ………………6分 ‎ （2）随机变量的所有可能取值为0,1,2‎ ‎;; …………9分 故的分布列为 - 11 -‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ………………12分 ‎20.解：（1）点的轨迹方程为 ………………5分 ‎（2）设点的坐标为，点的坐标分别为，‎ 则直线的方程为，‎ 直线的方程为.‎ 令，得，‎ 于是的面积，‎ ‎ ………………8分 直线的方程为，，‎ 点到直线的距离，‎ 于是的面积， ……………10分 当时，得，‎ 又，所以，解得，‎ 因为，所以，‎ 故存在点使得与的面积相等，‎ - 11 -‎ 此时点的坐标为 ……………12分 ‎21.证明：（1）设，‎ 则，‎ 当时，，在上是增函数； ………2分 当时，，即，‎ ‎ 成立， ……………4分 ‎ 同理可证，‎ 所以，. ……………6分 ‎（2）由已知得函数的定义域为，‎ 且，令得 ‎ ……………8分 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增.‎ 所以，的最小值，‎ ‎……………10分 将代入，‎ 得 即；‎ - 11 -‎ 所以，即 ‎……………12分 ‎22. （1）∵BE为圆O的切线 ‎∠EBD=∠BAD ………………2分 又∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ‎ ‎∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD=∠CAD ‎ ‎∴∠EBD=∠CBD ………………5分 ‎（2）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB ‎∴△EBD∽△EAB ………………7分 ‎∴ ‎ ‎∴AB•BE=AE•BD ………………9分 又∵AD平分∠BAC ∴BD=DC ‎ 故AB•BE=AE•DC ………………10分 ‎23.解：（1）曲线的普通方程为，‎ 化成极坐标方程为 ………3分 曲线的直角坐标方程为 ……………5分 ‎（2）在直角坐标系下， ，，‎ 线段是圆的一条直径 ‎ 由 得 是椭圆上的两点，‎ 在极坐标下，设 分别代入中，‎ - 11 -‎ 有和 ‎ ‎ 则 即. ……………10分 ‎24. 解：（1）当a=2时，不等式为，‎ 不等式的解集为； ……………5分 ‎（2）即，解得，而解集是，‎ ‎，解得a=1,所以 所以. ……………10分 - 11 -‎