山东省烟台市2015届高三数学下学期一模诊断测试试题 理.doc

烟台市2015届高三数学下学期一模试卷（理科含答案）‎ 一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）‎ ‎1. 若集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. “，”是“函数的图象过原点”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4. 甲乙两名同学参加某项技能比赛，名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（ ）‎ A. 甲成绩稳定且平均成绩较高 B. 乙成绩稳定且平均成绩较高 C. 甲成绩稳定，乙平均成绩较高 D. 乙成绩稳定，甲平均成绩较高 ‎5. 某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 已知，，且，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 设点是区域内的随机点，函数在区间 - 10 -‎ 上是增函数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若双曲线（，）的左. 右焦点分别为. ，线段被抛物线的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知是内一点，且，，若. . 的面积分别为. . ，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点. 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）‎ ‎11. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎12. 现有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）.‎ ‎13. 若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 .‎ ‎14. 已知，，，，，，经计算：，‎ - 10 -‎ ‎，，，照此规律则 .‎ ‎15. 已知圆和两点，（），若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是 .‎ 三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）‎ ‎16. （本小题满分12分）在中，角. . 所对的边分别为. . ，已知.‎ 求角的大小；‎ 若，，求值.‎ ‎17. （本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科. 文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取名同学进行测试.‎ 求从理科组抽取的同学中至少有名女同学的概率；‎ 记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎18. （本小题满分12分）已知等差数列中，，前项和为且满足条件：（）.‎ 求数列的通项公式；‎ 若数列的前项和为，且有（），，证明：数列是等比数列；又，求数列的前项和.‎ - 10 -‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.‎ 求证：平面平面；‎ 若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.‎ 求椭圆的方程；‎ 设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎21. （本小题满分14分）已知函数（）.‎ 当时，求函数图象在点处的切线方程；‎ 求函数的单调区间；‎ 若，，且对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.‎ - 10 -‎ ‎17. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，‎ 文科组抽取1人，…………………2分 从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，‎ 所以所求的概率为：. …………………4分 ‎（2）由题意可知的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分 相应的概率分别是 ‎,，‎ - 10 -‎ ‎,,………………9分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎.‎ ‎18. 解：‎ ‎………………2分 ‎∴‎ 所以………………4分 ‎（2）由 所以，，………………4分 所以是等比数列且，………………6分 ‎∴‎ ‎∴………………8分 ‎∴………………9分 ‎∴‎ 利用错位相减法，可以求得. ………………12分 - 10 -‎ ‎19. 解：（1）∵平面平面，‎ 平面平面，，‎ ‎∴平面,………………2分 又∵，故可建立空间直角坐标系如图所示，‎ 不妨设,‎ 则有，‎ ‎∴，‎ ‎∴，………………4分 ‎∴，‎ ‎∴平面.‎ 又平面 ‎∴平面平面………………6分 - 10 -‎ ‎∴二面角的余弦值为. ……………12分 ‎20. 解：（1）由题意知，‎ 又，所以，……………2分 ‎，所以椭圆的方程为：；……………4分 ‎（2）设直线的方程为：，代入，得：‎ 设，线段的中点为，‎ 则，……………7分 由得：，‎ 所以直线为直线的垂直平分线，‎ 直线的方程为：，……………9分 令得：点的横坐标，……………10分 因为，所以，所以. ……………12分 所以线段上存在点 使得，其中. ……………13分 ‎21. 解（1）当时，，，‎ - 10 -‎ ‎，……………2分 所以，切线方程为，即……………4分 ‎（2）由题意可知，函数的定义域为，‎ ‎，……………6分 当时，，，为增函数，，，为减函数；‎ 当时，，，为减函数，，，为增函数. ……………8分 ‎（3）“对任意的恒成立”等价于“当时，对任意的成立”，当时，由（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以的最小值为，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 时，，显然不满足，……………10分 当时，令得，，‎ ‎（1）当，即时，在上，所以在单调递增，所以，只需，得，所以 ‎（2）当，即时，在，单调递增，在，单调递减，所以，‎ - 10 -‎ 只需，得，所以 ‎（3）当，即时，显然在上，单调递增，，不成立，……………13分 综上所述，的取值范围是……………14分 - 10 -‎