烟台市2015届高三数学下学期一模试卷（文科有答案）
2. 已知集合，，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，. 若为实数且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为，则该几何体体积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知点的坐标满足，点的坐标为，点为坐标原点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数（）的图象分别向左. 向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
- 8 -
8. 右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知是直线（）上一动点，是圆的一条切线，是切点，若线段长度最小值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11. 函数的定义域为 .
12. 某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：
①；②；③；④，则可以输出的函数的序号是 .
13. 已知曲线在处的切线方程为，则实数的值为 .
14. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为 .
15. 关于方程，给出下列四个命题：①该方程没有小于的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则，其中所有正确命题的序号是 .
三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）
16. （本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从年开始，将对二氧化碳排放量超过的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲. 乙两品牌轻型汽车各抽取辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：）.
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经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为.
求表中的值，并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；
从被检测的辆甲品牌轻型汽车中任取辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？
17. （本小题满分12分）已知函数，其中，，.
求函数的单调递减区间；
在中，角. . 所对的边分别为. . ，，，且向量与共线，求边长和的值.
18. （本小题满分12分）如图，是正方形，平面.
求证：平面；
若，，点在线段上，且，求证：平面.
19. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，. 满足（为常数，且）.
求数列的通项公式；
设，当时，求数列的前项和.
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20. （本小题满分13分）已知函数，（）.
若的图象与的图象所在两条曲线的一个公共点在轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求和的值；
若，，试比较与的大小，并说明理由.
21. （本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率为，右焦点到直线的距离为.
求椭圆的方程；
已知点，斜率为的直线交椭圆于两个不同点. ，设直线与的斜率分别为，，①若直线过椭圆的左顶点，求此时，的值；②试猜测，的关系，并给出你的证明.
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，…………10分
设“至少有一辆二氧化碳排放量超过”为事件,
则，
所以至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是. ………12分
17. 解：（1），……3分
令，解得，
所以的单调递减区间为. ………6分
（2）∵，∴，
又，∴，即，…………8分
- 8 -
∵，由余弦定理得. ……①
因为向量与共线，所以，
由正弦定理得，……②………11分
解①②得，. …………12分
18. （1）证明：因为平面，所以. ……………2分
因为是正方形，所以，又,
从而平面. ……………5分
（2）解：延长交于点,
因为，，
所以,…………7分
因为，所以,
所以，所以,……10分
又平面，平面，
所以平面. …………12分
19. 解：（1）由，及，作差得，
即数列成等比数列，，
当时，，解得，故. …5分
（2）当时，，，
,………8分
,
,
作差得，
所以. ………12分
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21. 解：（1）设椭圆的右焦点，由右焦点到直线的距离为，解得，
又由椭圆的离心率为，，解得，
所以椭圆的方程为. …………4分
（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，
联立方程组，解得，
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故. ………7分
②猜测：. 证明如下：………8分
设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为.
由,得.
设. ,则，. ………10分
又
故.
又，，
所以
故. ………14分
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