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课后练习25 几何作图
A组
1．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
第1题图
2．(2016·石家庄模拟)已知：在△ABC中，AB＝AC，求作：△ABC的内心O.以下是甲、乙两同学的作法：
甲：如图1
①作AB的垂直平分线DE；
②作BC的垂直平分线FG；
③DE，FG交于点O，则点O即为所求．
乙：如图2
①作∠ABC的平分线BD；
②作BC的垂直平分线EF；
③BD，EF交于点O，则点O即为所求．
第2题图
对于两人的作法，正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
3．(2017·绍兴模拟)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，
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交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为(6a，2b－1)，则a和b的数量关系为( )
A．6a－2b＝1 B．6a＋2b＝1 C．6a－b＝1 D．6a＋b＝1
第3题图
4．(2016·河北)如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
第4题图
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD
B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC·AH
D．AB＝AD
5．(2016·河北模拟)郑萌用已知线段a，b(a＞b，且b≠a)，根据下列步骤作△ABC，则郑萌所作的三角形是( )
步骤：
①作线段AB＝a；
②作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点O；以点O为圆心，AB为直径画⊙O；
③以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交⊙O于点C，连结BC，AC.
A．等腰三角形 B．等边三角形
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C．直角三角形 D．钝角三角形
6．(2017·绍兴)以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为____________________．
7．(2016·北京模拟)阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小敏的作法如下：
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连结BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；
③连结DA，DC.
则四边形ABCD即为所求．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作图依据是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
8．(2015·黔南州)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连结CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连结AF.
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)求证：四边形AECF是菱形；
(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？
第8题图
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B组
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，8)，点B(6，8)．
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件：(要求保留作图痕迹，不必写出作法)
①点P到A、B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等；
(2)在(1)作出点P后，写出点P的坐标．
第9题图
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．(只写结果)
第10题图
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11．(2015·宜昌)如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.
(1)求证：AB＝AE；
(2)若∠A＝100°，求∠EBC的度数．
第11题图
C组
12．(2015·邵阳)已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，a为半径(a＞AC)作弧，两弧分别交于M，N两点；
②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；
③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F.
(1)请在图中直线标出点F并连结CF；
(2)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(3)当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．
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第12题图
参考答案
课后练习25 几何作图
A组
1．B 2.D 3.B 4.A 5.C 6.2
7．对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
8．(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠
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EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD； (2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵DF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形． (3)∵AD＝3，AE＝5，∴根据勾股定理得：ED＝4，∴EF＝8，AC＝6，∴S菱形AECF＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF的面积是24.
B组
9． (1)如图所示，点P即是所求作的点． (2)设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，则OF＝3.又∵OP是∠xOy的平分线，∴P(3，3)．
第9题图
10．(1)作法：以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，大于GH长为半径画弧，两弧交于N，作射线DN.则DN即为所求．如图所示：
(2)△ADF的形状是等腰直角三角形．∵AB＝AC，AD是高，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠FAD＝×180°＝90°.∴AF∥BC.∴∠CDF＝∠AFD.又∵∠CDF＝∠ADF，∴∠AFD＝∠ADF.∴AD＝AF.∴△ADF是等腰直角三角形．
第10题图
11．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE； (2)由∠A＝100°，∠ABE＝∠AEB，得∠ABE＝∠AEB＝40°.由AD∥BC，得∠EBC＝∠AEB＝40°.
C组
12． (1)如图所示：
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第12题图
(2)∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，∴D、E为线段AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE綊BC，∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，∴EF＝ED，∴DF＝BC，∵DE∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形； (3)当∠B＝60°时，四边形BCFD是菱形；∵∠B＝60°，∴BC＝AB，∵DB＝AB，∴DB＝CB，∵四边形BCFD是平行四边形，∴四边形BCFD是菱形．
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