知识点030 线段垂直平分线、角平分线、中位线2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （ 2016四川省雅安市，8，3分）如图所示，底边BC为，顶角A为 120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为 ( )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是通过画高解直角三角形求出AC的长. 由线段垂直平分线的性质可知EA=EB，则△ACE的周长为AC与BC长度的和．‎ ‎【详细解答】解：画AH⊥BC于H,‎ ‎∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BH=CH=,‎ ‎∵cos30°=,∴AC=2，∵DE垂直平分 AB于D，∴EA=EB，‎ ‎∴△ACE的周长=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=2+2，故选择 A. ‎ ‎【解后反思】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，运用该性质可以将线段进行转化．其逆定理是：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．‎ ‎【关键词】垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义 ‎2. (2016山东威海，10，3)如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE.则下列结论错误的是 ( )‎ ‎ ‎ A. = B. AD，AE将∠BAC三等分 C. △ABE≌△ACD D. S△ADH=S△CEG ‎【答案】A ‎【逐步提示】由条件可求得∠BAC=108°；由DH垂直平分AB可得∠BAD=∠B=36°，同理可得∠EAC=∠C=36°，因此还可求得图中其他角的度数：∠BAE=∠BEA=∠ADC=∠DAC=72°，∠BAD=∠B=∠EAD=∠C=∠CAE=36°，则图形隐含的相等相等有AH=BH=AG=GC，AB=BE=AC=CD，AD=BD=AE=CE，全等的三角形有△ABE≌△ACD、‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎△ADH≌△BDH≌△AEG≌△CEG、△ABE≌△ACD、△ABD≌△ACE，相似的三角形有△ABD∽△CBA∽△ACE、△ABE∽△DAE∽△ACD ‎【详细解答】解：由条件可知△DAE∽△ACD，则AD2=DE·CD，且AD=CE，则CE2=DE·CD，即点E是CD的黄金分割点，所以，即，则，显然选项A是错误的，选项B、C、D是错误的，故选择A .‎ ‎【解后反思】与角平分线、线段垂直平分线有关的图形问题，往往应用其性质挖掘其中隐含的相等的角、相等的线段，以致于得到对应的三角形全等或相似，从而揭示图形中具有的角与角或线段与线段之间的数量关系。‎ ‎【关键词】垂直平分线；等腰三角形的性质与判定；全等三角形的条件与性质；相似三角形的条件与性质 二、填空题 ‎1. （ 2016山东潍坊，17，3分）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【逐步提示】本题考查了轴对称的概念及距离之和最短问题的解法，解题的关键是根据题意画出图形，作出点M关于OC的对称点M′，然后过点M′作边OA的垂线M′N，则M′N的长度即为所求的最小值. 【详细解答】解：如图所示，作出点M关于OC的对称点M′，然后过点M′作边OA的垂线M′N，垂足为N，则M′N=MP+NP，即为所求的最小值.‎ ‎∵点M′和点M关于直线OC对称，‎ ‎∴OM′=OM=4，∠AOB=60°.‎ 在Rt△OM′N中，‎ sin60°=‎ ‎∴M′N=，故答案为. 【解后反思】本题是由“将军饮马”题型拓展而形成的，解题时注意到M点是一个定点，故需作点M关于直线OC的对称点，再根据垂线段最短的结论得到所求的最小值. 【关键词】角平分线；轴对称；点到直线的距离；动点问题；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费