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限时规范训练十七 圆锥曲线的综合问题
解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1,0)．设Q＝(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，点P在椭圆C上，满足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝4.
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知点A(1,0)，试探究是否存在直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于D，E两点，且使得|AD|＝|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝，由cos2∠F1PF2＝＝＝，又由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝，所以a＝2，
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故所求C的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在直线l满足题设，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，将y＝kx＋m代入＋y2＝1并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝－16(m2－4k2－1)＞0，得4k2＋1＞m2①，又x1＋x2＝－设D，E中点为M(x0，y0)，M，kAM·k＝－1，得m＝－②，将②代入①得4k2＋1＞，化简得20k4＋k2－1＞0⇒(4k2＋1)(5k2－1)＞0，解得k＞或k＜－，所以存在直线l，使得|AD|＝|AE|，此时k的取值范围为∪.
3．(2017·广州五校联考)已知双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝，且S△ABF＝1－.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.
(1)求双曲线M和抛物线N的方程．
(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由．
解：(1)在双曲线M中，c＝，由e＝，得＝，
解得a＝b，故c＝2b.
所以S△ABF＝(c－a)×b＝(2b－b)×b＝1－，
解得b＝1.
所以a＝，c＝2.
所以双曲线M的方程为－x2＝1，其上焦点为F(0,2)，
所以抛物线N的方程为x2＝8y.
(2)由(1)知y＝x2，故y′＝x，抛物线的准线方程为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，且直线l的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，
即y＝x0x－x.
由得
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所以Q.
假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是·＝0对任意的x0，y0恒成立．
又＝(x0，y0－y1)，＝，
由·＝0，
得x0×＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，
整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y＝0，
即(y＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0.(☆)
由于(☆)式对满足y0＝x(x0≠0)的任意x0，y0恒成立，所以解得y1＝2.
故存在y轴上的定点R(0,2)，使得以PQ为直径的圆恒过该点．
4．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，F2的坐标满足圆Q方程(x－)2＋(y－1)2＝1，且圆心Q满足|QF1|＋|QF2|＝2a.
(1)求椭圆C1的方程．
(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．
解：(1)方程(x－)2＋(y－1)2＝1为圆，此圆与x轴相切，切点为F2(，0)，所以c＝，即a2－b2＝2，且F2(，0)，F1(－，0)，|QF1|＝＝＝3，
又|QF1|＋|QF2|＝3＋1＝2a.
所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)当l1平行x轴时，l2与圆Q无公共点，从而△MAB不存在；
所以设l1：x＝t(y－1)，则l2：tx＋y－1＝0.
由消去x得(t2＋2)y2－2t2y＋t2－4＝0，则|AB|＝|y1－y2|＝.
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又圆心Q(，1)到l2的距离d1＝＜1得t2＜1.
又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M到AB的距离即Q到AB的距离，设为d2，即d2＝＝.
所以△MAB面积S＝|AB|·d2＝，
令u＝∈[2，)，则S＝f(u)＝＝∈.
所以△MAB面积的取值范围为.
5．(2017·山东潍坊模拟)如图，点O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2＝2py(p＞0)的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2＋y2＝1相切于点Q.
(1)当直线PQ的方程为x－y－＝0时，求抛物线C1的方程；
(2)当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．
解：(1)设点P，由x2＝2py(p＞0)得，y＝，求导得y′＝.
因为直线PQ的斜率为1，所以＝1且x0－－＝0，
解得p＝2，
所以抛物线C1的方程为x2＝4y.
(2)因为点P处的切线方程为：y－＝(x－x0)，
即2x0x－2py－x＝0，
根据切线又与圆相切，得＝1，
化简得x＝4x＋4p2，
由4p2＝x－4x＞0，得|x0|＞2.
由方程组
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解得Q，
所以|PQ|＝|xP－xQ|
＝＝
＝×＝(x－2)．
点F到切线PQ的距离是d＝＝
＝＝，
所以S1＝|PQ|·d＝(x－2)，
S2＝|OF||xQ|＝，
所以＝＝＝
＝＋＋3≥2＋3，
当且仅当＝时取“＝”号，
即x＝4＋2，此时，p＝，
所以的最小值为3＋2.
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