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限时规范训练十八 排列与组合、二项式定理
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(x－3)6的展开式中，二项式系数的最大值为( )
A．6 B．15
C．20 D．60
解析：选C.依题意，(x－3)6的展开式中一共有7项，第4项的二项式系数最大，二项式系数为C(r＝0,1,2,3,4,5,6)，当r＝3时，二项式系数最大，为20，选C.
2．(2016·高考四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A．－15x4 B．15x4
C．－20i x4 D．20i x4
解析：选A.二项式(x＋i)6展开式的通项Tr＋1＝Cx6－rir，则其展开式中含x4的项是当6－r＝4，即r＝2，则展开式中含x4的项为Cx4i2＝－15x4.
3．(2017·山东济南模拟)某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．8种 B．16种
C．18种 D．24种
解析：选A.可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有AAA＝8(种)．
4．(2017·贵州七校联考)(x2＋x＋1)(x－1)6的展开式中x4的系数是( )
A．－10 B．－5
C．5 D．10
解析：选D.∵(x2＋x＋1)(x－1)＝x3－1，∴原式可化为(x3－1)(x－1)5，其展开式中，x4的系数为C(－1)4－C(－1)1＝5＋5＝10.故选D.
5．(2017·福建厦门质检)有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )
A．6 B．18
C．20 D．24
解析：选B.A不是第一名有A种．A不是第一名，B不是第三名有A种．符合要求的有A－A＝18(种)．
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6．(2017·大连模拟)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，舰载机为我国自主研发的歼－15.在某次舰载机起降飞行训练中，有6架歼－15(记编号为1,2,3,4,5,6)准备着舰，如果1,2号两机必须相邻着舰，而3,4号两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数是( )
A．72 B．36
C．144 D．288
解析：选C.①把1,2号两机捆绑为一个元素A，有A种方法；②A与5,6号两机共3个元素进行全排，不同的排法有A种；③上述3个元素排好之后形成4个空位，然后从中选出两空，把3,4号两机插入进行排列即可，不同的排法有A种．由分步乘法计数原理可知共有AAA＝144(种)不同的着舰方法．
7．(2017·高考全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20
C．30 D．35
解析：选C.(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6则(1＋x)6的x2项系数为C＝＝15，·(1＋x)6的x2项系数为C＝15，∴x2的系数为15＋15＝30，故选C.
8．(2017·江西南昌模拟)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A．24对 B．30对
C．48对 D．60对
解析：选C.通解：直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有×96＝48(对)．
优解：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C－12－6＝48(对)．
9．(2017·山东青岛模拟)若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )
A．9 B．10
C．－9 D．－10
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解析：选D.x3＋x10＝[(x＋1)－1]3＋[(x＋1)－1]10，
因为[(x＋1)－1]3的展开式中x＋1的最高次幂为3，
故其展开式中没有含(x＋1)9的项；
[(x＋1)－1]10的展开式中，含(x＋1)9的项为T2＝C(x＋1)9×(－1)1＝－10(x＋1)9，其系数为－10.
因为x3＋x10的展开式中，(x＋1)9项为－10(x＋1)9，
所以(x＋1)9项的系数a9为－10.
10．(2017·东北六校联考)为配合国家足球战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足球学校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )
A．60 B．120
C．240 D．360
解析：选D.先分配王教练有C种方案，其余5人分两种情况讨论：
(1)当王教练所去学校只有1人时，这5人分两组去另外两所学校，有(CC＋CC)A＝30种方案．
(2)当王教练所去学校不止1人时，这5人分三组去这三所学校有A＝150种方案．
所以分配方案共有C(30＋150)＝360(种)．
11．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A．64 B．72
C．84 D．96
解析：选C.将四种颜色编号为①②③④，A有4种涂法，设涂①，B有3种涂法，设涂②，下面分3类：
若C涂①，则D可涂②③④，共3种方法；
若C涂③，则D可涂②④，共2种方法；
若C涂④，则D可涂②③，共2种方法．
于是，不同的涂法为4×3×(3＋2＋2)＝84(种)．
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12．(2017·河北衡水模拟)我们把各位数字之和为7的四位数称为“巧合数”(如2 014是“巧合数”)，则“巧合数”中首位为2的共有( )
A．18个 B．21个
C．15个 D．24个
解析：选B.因为首位已经确定，所以“巧合数”的个数也就是其余三位数字的不同排法的种数．
因为首位为2，所以其余三位数字之和为5，则其他三位数字中0的个数最多为2个．
(1)若其他三位数字中含有两个0，则这三个数字为0,0,5，故不同的“巧合数”有C＝3(个)．
(2)若其他三位数字中含有1个0，则这三个数字为0,1,4和0,2,3两种情况，故不同的“巧合数”有2A＝12(个)．
(3)若其他三位数字中不含0，则这三个数字为1,1,3和1,2,2两种情况，故不同的“巧合数”有2C＝6(个)．
由分类加法计数原理，可得不同的“巧合数”共有3＋12＋6＝21(个)．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2017·山东烟台三模)若的展开式的各个二项式系数的和为256，则的展开式中的常数项为________．
解析：依题意得2n＝256，解得n＝8，所以Tr＋1＝C·(－x)r＝(－1)rCx2r－8，令2r－8＝0，则r＝4，所以T5＝(－1)4C＝70，所以的展开式中的常数项为70.
答案：70
14．(2017·河北唐山三模)数学研究学习小组共有10名学生，其中男生8人，女生2人，从这10人中选出3人准备写报告．在选出的3人中，至多有1名女生，一共有________种选法．
解析：如果没有限制条件，则有C种选法，而不符合条件，即选出的有2名女生的选法有CC种．因此，至多有1名女生的不同选法有C－CC＝112(种)．
答案：112
15．(2017·湖南长沙模拟)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．
解析：分两类：第一类仅有1名老队员，此时有2名新队员，一定可以保证1,2号中至少有1名新队员，此时有CCA＝36种排法；第二类有2名老队员，此时，要注意将新队员安排在1,2号中，有CCA＝12种排法．于是，不同的排法数为36＋12＝48.
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答案：48
16．(2017·山东潍坊模拟)已知＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a10(x＋1)10，则a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
解析：对＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a10(x＋1)10两边求导，得－＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋10a10(x＋1)9.
令x＝0，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝－.
答案：－
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