第二章直线与圆的位置关系单元检测卷
一、选择题
1. 如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C(0，9)，D(0，−1)，则线段AB的长度为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
2. 下面命题中，是真命题的有( )
①平分弦的直径垂直于弦；②如果两个三角形的周长之比为3：2，则其面积之比为3：4；③圆的半径垂直于这个圆的切线；④在同一圆中，等弧所对的圆心角相等；⑤过三点有且只有一个圆．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，若等边△ABC的内切圆⊙O的半径是2，则△ABC的面积是( )
A. 43
B. 63
C. 83
D. 123
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1. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=30∘，则∠OCB的度数为( )
A. 30∘
B. 60∘
C. 50∘
D. 40∘
2. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20∘，求∠P的度数为( )
A. 50∘
B. 70∘
C. 110∘
D. 40∘
3. 如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦BE//CD，若∠BAC=30∘，则BEAB的值是( )
A. 12
B. 2
C. 32
D. 33
4. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20∘，求∠P的度数为( )
A. 50∘
B. 70∘
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C. 110∘
D. 40∘
1. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C在弦AB上，且AC=6，过点C作CD⊥AB交OB于点D，则CD的长为( )
A. 1
B. 2
C. 1.5
D. 2.5
2. 如图，⊙O1的半径为4，⊙O2的半径为1，O1O2=6，P为⊙O2上一动点，过P点作⊙O1的切线，则切线长最短为( )
A. 25
B. 5
C. 3
D. 33
3. 下列说法中，正确的是( )
A. 三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
B. 三点确定一个圆
C. 垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
D. 任何三角形有且只有一个内切圆
二、填空题
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1. 在Rt△ABC中，∠A=30∘，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是______ ．
2. 如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移______ 个单位后圆与x轴交于点(1，0)．
3. 如图，矩形ABCD中，AB=23，AD=2，以AB为弦在矩形内部画一条120∘的弧，过点C作直线CE，与AB切于点F，与AD边交于点E，那么DE的长是______ ．
4. 直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点(D与B，C不重合)，若∠A=40∘，则∠BDC的度数是______ ．
5. 如图，⊙P的半径是12，圆心P在函数y=2x−1(x>0)的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标为______ ．
三、解答题
6. 已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度数为60∘，连接PB．
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
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1. 如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．
(1)求证：∠OPB=∠AEC；
(2)若点C为半圆ACB的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．
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1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90∘，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t，求：
(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？
(2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？
2. 如图，点M(4，0)，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B，已知抛物线y=16x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
(2)求出抛物线的顶点D的坐标，并确定与圆M的位置关系；
(3)点Q(8，m)在抛物线
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y=16x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值．
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【答案】
1. C 2. A 3. D 4. B 5. D 6. A 7. D
8. C 9. C 10. D
11. 相切
12. 2或8
13. −18+86
14. 25∘或155∘
15. (12，3)，(43，12)，(4，−12)
16. (1)解：如图，连接OB．
∵AB⊥OC，∠AOC=60∘，
∴∠OAB=30∘，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=30∘，
∴∠BOC=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC的等边三角形，
∴BC=OC．
又OC=2，
∴BC=2；
(2)证明：由(1)知，△OBC的等边三角形，则∠COB=60∘，BC=OC．
∵OC=CP，
∴BC=PC，
∴∠P=∠CBP．
又∵∠OCB=60∘，∠OCB=2∠P，
∴∠P=30∘，
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∴∠OBP=90∘，即OB⊥PB．
又∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线．
17. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90∘．
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90∘．
∴∠ABC=∠OPB．
又∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．
(2)解：四边形AOEC是菱形．
证法一：∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴CE=BE．
∵C为半圆ACB的三等分点，
∴AC=CE=BE．
∴∠ABC=∠ECB．
∴AB//CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC．
又OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC//OE．
∴四边形
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AOEC是平行四边形．
又OA=OE，
∴四边形AOEC是菱形．
证法二：连接OC．
∵C为半圆ACB的三等分点，
∴∠AOC=60∘．
∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30∘．
由(1)，得∠POB=90∘−∠OPB=60∘．
∴∠ECB=30∘．
∴∠ABC=∠ECB=30∘．
∴AB//CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC．
又OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC//OE．
∴四边形AOEC是平行四边形．
又OA=OE，
∴四边形AOEC是菱形．
证法三：连接OC，则OC=OA=OE．
∵C为半圆ACB的三等分点，
∴∠AOC=60∘．
∴△AOC为等边三角形．
∴AC=AO．
∵OP⊥弦BC于点
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D且交⊙O于点E，
∴CE=BE．
∵C为半圆ACB的三等分点，
∴AC=CE=BE．
∴AC=CE．
∴AC=CE=OA=OE．
∴四边形AOEC是菱形．
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18. 解：(1)因为AD//BC，
所以，只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，
此时有，3t=24−t，
解得t=6，
所以t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形．
又由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，
则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t−(24−t)=4，
解得t=7秒所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形．
(2)设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，
则PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26−3t−t=26−4t，
由切线长定理得，AP=PG，QG=BQ，
则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26−3t=26−2t
由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即(26−2t)2=82+(26−4t)2
化简整理得3t2−26t+16=0，
解得t1=23或t2=8，
所以，当t1=23或t2=8时直线PQ与⊙O相切．
因为t=0秒时，直线PQ与⊙O相交，
当t=263秒时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，
所以可得以下结论：
当t1=23或t2=8
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秒时，直线PQ与⊙O相切；
当0≤t
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