12分
难点一
与三角变换、平面向量综合的三角形问题
(对应学生用书第62页)
高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的．
1．向量运算与三角形问题的综合运用
解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用．
【例1】 (镇江市2017届高三上学期期末)已知向量m＝(cos α，－1)，
n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n.
(1)求cos 2α的值；
(2)若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值．
[解] 法一(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，
代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1，
且α∈，
则cos α＝，sin α＝，
则cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
(2)由α∈，β∈得，α－β∈.
因sin(α－β)＝，则cos(α－β)＝.
则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
因β∈，则β＝.
法二(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，
故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
(2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，
且cos2α＋sin2α＝1，α∈，β∈，
则sin α＝，cos α＝，
由α∈，β∈得，α－β∈.
因sin(α－β)＝，则cos(α－β)＝.
则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
因β∈，则β＝.
2．三角函数与三角形问题的结合
三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．
【例2】 (2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝.
(1)求边c的长；
(2)求角B的大小.
【导学号：56394089】
[解] (1)∵acos B＝3，bcos A＝1，∴a×＝3，b×＝1，
化为：a2＋c2－b2＝6c，b2＋c2－a2＝2c.
相加可得：2c2＝8c，解得c＝4.
(2)由(1)可得：a2－b2＝8.
由正弦定理可得：＝＝，
又A－B＝，∴A＝B＋，C＝π－(A＋B)＝π－，可得sin C＝sin.
∴a＝，b＝.
∴16sin2－16sin2B＝8sin2，
∴1－cos－(1－cos 2B)＝sin2，即cos 2B－cos＝sin2，
∴－2sinsin＝sin2，
∴sin＝0或sin＝1，B∈.
解得：B＝.
3.三角变换、向量、三角形问题的综合
高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形．
【例3】 (扬州市2017届高三上学期期中)在△ABC中，AB＝6，AC＝3，·＝－18.
(1)求BC的长；
(2)求tan 2B的值．
[解] (1)因为·＝AB×AC×cos A＝－18，且AB＝6，AC＝3，
BC＝
＝＝3.
(2)法一：在△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC＝3，
cos B＝＝＝，
又B∈(0，π)，所以sin B＝＝，
所以tan B＝＝，
所以tan 2B＝＝＝.
法二：由AB＝6，AC＝3，·＝AB×AC×cos A＝－18可得cos A＝－，
又A∈(0，π)，所以A＝.
在△ABC中，＝，所以sin B＝＝＝，
又B∈，所以cos B＝＝，所以tan B＝＝，
所以tan 2B＝＝＝.
4．实际应用中的三角形问题
在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的．
【例4】 (2017·江苏省淮安市高考数学二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
图1
(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17°≈，≈5.744 6)
(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
[解] (1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图)，则AC＝3BC.
△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝17°，
∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，
△ABC中，由余弦定理可得cos 120°＝，∴BC≈1.686 15.
B到边界线l的距离为3.8－4sin 30°＝1.8，
∵1.686 15＜1.8，
∴能用最短时间在领海内拦截成功．
(2)以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B(2,2)，设缉私艇在P(x，y)处与走私船相遇，则PA＝3PB，
即x2＋y2＝9[(x－2)2＋(y－2)2]，即2＋2＝，
∴P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∵圆心到边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，
∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．
5．综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键．
6．向量与三角形问题的结合
向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景．
6．1 向量与三角形谈“心”
内心(三角形内切圆圆心 )：三角形三条内角平分线的交点；
外心(三角形外接圆的圆心)：三角形各边中垂线的交点；
垂心：三角形各边上高的交点；
重心：三角形各边中线的交点，
用向量形式可表示为如下形式：
若P是△ABC内的一点，
⇒P是△ABC的内心；
若D、E两点分别是△ABC的边BC、CA上的中点，且
⇒P是△ABC的外心；
若＋＋＝0，则G是△ABC的重心；
若P是△ABC所在平面内的一点，且·＝·＝·，则P是△ABC的垂心．
【例5】 (2017·江苏省泰州市高考数学一模)在△ABC中，若·＋2·＝·，则的值为________.
【导学号：56394090】
[解析] 在△ABC中，设三条边分别为a、b、c，三角分别为A、B、C，
由·＋2·＝·，
得ac·cos B＋2bc·cos A＝ba·cos C，
由余弦定理得：(a2＋c2－b2)＋(b2＋c2－a2)＝(b2＋a2－c2)，
化简得＝2，∴＝，由正弦定理得＝＝.
故答案为：.
[答案]
6．2 判断三角形形状
三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识来判断三角形的形状
【例6】 △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，(＋)·＝0，则△ABC一定是________三角形．
[解析] △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则有2B＝A＋C，所以B＝，设D是AC
边的中点，
则＋＝2，所以2·＝0，⊥，所以△ABC一定是等边三角形．
[答案] 等边
微信/支付宝扫码支付