专题限时集训(五) 三角函数与解三角形
(对应学生用书第89页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知tan α＝－，则tan＝________.
7 [∵tan α＝－，则tan＝＝＝7.]
2．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)函数y＝tan的单调增区间为________．
，k∈Z [由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
即函数的单调递增区间为，k∈Z.]
3．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知倾斜角为α的直线l过x轴上一点A(非坐标原点O)，直线l上有一点P(cos 130°，sin 50°)，且∠APO＝30°，则α等于________．
100°或160° [因为P(cos 130°，sin 50°)＝P(cos 130°，sin 130°)，所以∠POx＝130°，因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.]
4．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知α∈，tan(α－π)＝－，则sin α＋cos α的值是________．
－ [tan(α－π)＝tan α＝－，又α∈，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin α＋cos α＝－.]
5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知函数f (x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f (x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________.
【导学号：56394033】
6 [将y＝f (x)的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ω＝cos
，又因为所得的图象与原图象重合，所以＝2kπ，即ω＝6k(k∈Z) ，因为ω＞0，所以ω的最小值为6.]
6．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcos A＝2c－a，则角B的大小为________．
[∵2bcos A＝2c－a，
∴cos A＝＝，整理可得：c2＋a2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.]
7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)将函数f (x)＝3sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．则y＝g(x)图象一条对称轴是________．
x＝ [函数f (x)＝3sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝3sin，再向右平移个单位长度，得y＝3sin＝3sin，对称轴为2x－＝＋kπ(k∈Z)，x＝＋(k∈Z)．]
图5－7
8．(四川省2016年普通高考适应性测试)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图5－7所示，则函数f (x)的解析式为________.
f (x)＝2sin [A＝2，＝－⇒T＝π，ω＝＝2,2sin＝2⇒＋φ＝＋2kπ(k∈Z)⇒φ＝－＋2kπ(k∈Z)，∵|φ|＜，∴φ＝－.]
9．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)若函数y＝tan θ＋，则函数y的最小值为________．
2 [由题意：函数y＝tan θ＋，
化简：y＝＋＝＋＝；
∵0＜θ＜，
∴0＜2θ＜π，
所以：0＜sin 2θ≤1.
当sin 2θ＝1时，函数y取得最小值，即ymin＝＝2.]
10．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知函数f (x)＝sin 2ωx－cos 2ωx(其中ω∈(0,1))，若f (x)的图象经过点，则f (x)在区间[0，π]上的单调递增区间为________．
[函数f (x)＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin，
∵f (x)的图象经过点，
∴2sin＝0，∴ω－＝kπ，k∈Z，
解得ω＝3k＋，
∵ω∈(0,1)，∴ω＝，
∴f (x)＝2sin，
∴f (x)的增区间为：－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
整理，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴f (x)在区间[0，π]上的单调递增区间为.]
11．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若sin＝，α∈，则cos α的值为________．
[∵α∈，
∴α－∈，
∵sin＝，
∴cos＝，
那么cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.]
12．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin＝－，且a＋c＝2，则△ABC周长的取值范围是________.
[2＋，4) [∵sin＝－，且B为三角形的内角，∴B＝π，∴B＝，又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－ac＝4－ac≥4－2＝3，当且仅当a＝c＝1时，取等号，所以b≥，所以a＋c＋b≥2＋；又a＋c＝2＞b，所以a＋c＋b＜4，所以△ABC周长的取值范围是[2＋，4)．]
13．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知△ABC中，sin A＋2sin Bcos C＝0，则tan A的最大值是________．
[∵sin A＋2sin Bcos C＝0，∴a＋2bcos C＝0.
∴a＋2b＝0，∴2a2＋b2－c2＝0；
由于tan2A＝－1.
又cos A＝＝≥＝，当且仅当b＝c时，等号成立．即cos A的最小值为.故tan2A的最大值为，故tan A的最大值为.]
14．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＋1的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f (x)至少有12个零点，则n－m的最小值为________．
[由题知f (x)＝2sin＋1，f (x)＝0,2sin＝－1，∴sin＝－.
由周期性可知n－m≥5π＋＝，∴(n－m)min＝.]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)如图5－8，在△ABC中 ，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.
① ②
图5－8
(1)若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
(2)若∠ABC＝，求△ADC的面积．
[解] (1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β.
因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
所以tan α＝，tan β＝， 2分
所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1.4分
又∠BAC∈(0，π)，
所以∠BAC＝. 6分
(2)设∠BAD＝α.在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3.
由正弦定理得＝，解得sin α＝.8分
因为AD＞BD，
所以α为锐角，从而cos α＝＝.
因此sin∠ADC＝sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝. 12分
△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC＝×6×2×＝(1＋).
14分
16．(本小题满分14分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△ABC中，a，b，c
分别为内角A，B，C的对边，且bsin 2C＝csin B.
(1)求角C；
(2)若sin＝，求sin A的值．
[解] (1)由bsin 2C＝csin B，根据正弦定理，得2sin Bsin Ccos C＝sin Csin B，
2分
因为sin B＞0，sin C＞0，所以cos C＝， 4分
又C∈(0，π)，所以C＝. 6分
(2)因为C＝，所以B∈，所以B－∈，
又sin＝，所以cos＝＝. 8分
又A＋B＝，即A＝－B，
所以sin A＝sin＝sin＝sin cos－cos sin
＝×－×＝. 14分
17．(本小题满分14分)(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)如图5－9，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.
图5－9
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求α＋β的值.
【导学号：56394034】
[解] 因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，
所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝，
从而sin α＝＝. 2分
因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，从而cos β＝－＝－. 4分
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝－. 8分
(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝. 11分
因为α为锐角，β为钝角，
故α＋β∈，所以α＋β＝. 14分
18．(本小题满分16分)(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)(本小题满分12分)已知函数f (x)＝sin xcos x－cos2x－.
(1)求函数f (x)的对称中心 ；
(2)求f (x)在[0，π]上的单调递增区间．
[解] (1)f (x)＝sin 2x－－＝sin－1， 4分
令2x－＝kπ，得x＝＋，
故所求对称中心为，k∈Z. 8分
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z 10分
又由于x∈[0，π]，所以x∈∪，
故所求单调递增区间为∪. 16分
19．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考 )已知函数f (x)＝2sin xcos＋.
(1)求函数f (x)的单调递减区间；
(2) 求函数f (x)在区间上的最大值及最小值．
[解] (1)f (x)＝2sin xcos＋
＝2sin x＋
＝sin xcos x－sin2x＋
＝sin 2x－＋cos 2x＋
＝sin. 3分
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
即f (x)的单调递减区间为，k∈Z. 6分
(2)由0≤x≤得≤2x＋≤， 8分
所以－≤sin≤1. 12分
所以当x＝时，f (x)取得最小值－；
当x＝时，f (x)取得最大值1. 16分
20．(本小题满分16分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a－b，sin A＋sin C)与向量n＝(a－c，sin(A＋C))共线．
(1)求角C的值；
(2)若·＝－27，求||的最小值．
[解] (1)∵向量m与向量n共线，
∴(a－b)·sin(A＋C)＝(a－c)(sin A＋sin C)， 2分
由正弦定理可得：(a－b)b＝(a－c)(a＋c)，
∴c2＝a2＋b2－ab，
∴cos C＝＝，
∵0＜C＜π，∴C＝. 7分
(2)∵·＝－27，∴·＝27，
∴·＝||·||cos C＝||·||＝27， 10分
∴||·||＝54，
∵||2＝|－|2＝||2＋||2－2·，
∴||2≥2||·||－2×27
＝2×54－54＝54.
∴||≥3，
(当且仅当||＝||＝3时，取“＝”)
∴||的最小值为3. 16分
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